Краевые условия для задач внешнего обтекания

    Рассматривается в пространстве система непересекающихся тел , которые могут как покоиться, так и двигаться.

.

    Тела ограниченны кусочно-непрерывными поверхностями:

 – дополнение пространства.

    В этом дополнении задано начальное состояние потока.

.

    И задается система:

    Ставятся следующие условия:

 

1. Условие равномерности потока на бесконечности.

.

 

2. На границе тел , если учитывать вязкость (три механизма диссипации), ставится условие прилипания:

,

где – скорость движения частиц вблизи поверхности, – скорость движения поверхности.

 

- где  – скорость  отсоса газа.

 

3. Для температуры

– более сложное распределение, где .

 

4. Граничные условия на выходной границе:

 

.

 

Это мягкие граничные условия. В основном берут .

 

Разностные схемы для модельных уравнений

1.4.1. Основные понятия теории разностных схем

 

1.4.2. Рассмотрим модельные уравнения:

.                                                        (1)

.                                                 (2)

.                                           (3)

.                                    (4)

    Исследуем на устойчивость явную схему для уравнения (1).

Пусть . Выбираем гармонику                         (1.1)

, здесь

.

 и подставляем ее в уравнение.

    Тогда схема (1.1) примет вид:

Схема неустойчива.

    Для того, чтобы схема стала устойчивой, необходимо учитывать знак числа :

.             (1.2)

    Аналогично, как и в предыдущем примере, получим

 при выполнении условия Куранта-Фридрихса-Леви:

 –(класс условно устойчивых схем).

Рассмотрим исходную схему , тогда ее можно преобразовать в следующую схему Лакса:

                   (1.3)

    Схема (1.3) условно устойчива.

    Для схемы (2) с диссипативным слагаемым, выпишем условно устойчивую схему:

                       (2.1)

    Запишем схемы Лакса-Вендрофа и Маккормака (схемы второго порядка аппроксимации). Это схемы типа «предиктор-корректор»

    Схема Лакса-Вендрофа:

.

    Если , то получим схему со вторым порядком аппроксимации. Неудобство этой схемы – дробный шаг по времени.

    Разложим функции в ряд Тейлора

Пусть , то получим:

.

    Имеем .

Схема Лакса-Вендрофа условно устойчива. Условие устойчивости совпадает с условием устойчивости схем (1) и (2):

.

Схема Маккормака для нелинейного уравнения (3):

    Порядок аппроксимации:  и  схема условно устойчива.

Безусловно устойчивые разностные схемы

Замечания. Схема Маккормака в целых шагах совпадает со схемой Лакса-Вендрофа. Поэтому условия аппроксимации у нее такие же, как и у схемы Лакса-Вендрофа.

Явные схемы налагают ограничения на временной шаг, что становится неэкономичным.

Поэтому более экономичные – безусловно устойчивые разностные схемы.

Схема бегущего счета (промежуточная схема)

Рассмотрим уравнение (1)

и для него построим схему                   (1)

Шаблон используемый в схеме следующий:

 

 

    Выражая значения на верхнем временном слое имеем

.

    Данная схема будет безусловно устойчивой, так как изначально она неявная. По арифметическим затратам она эквивалентна явной схеме. Недостаток: . Если это условие не выполняется, то расчет усложняется.

 

Разностные схемы с весами

    Рассмотрим уравнение (2)

.                                       (2)

 Для его численной реализации используем схему с весами

 – схема явная.

 – схема неявная.

Порядок аппроксимации: .

Когда , то , то есть порядок аппроксимации схемы .

При всех остальных  – схема первого порядка. Расписывая более подробно разностное уравнение

где

 

и преобразуя его к трехточечному виду получаем:

.

    В нашем случае прогоночные коэффициенты:

    Достаточное условие корректности и устойчивости метода прогонки (условие диагонального преобладания): , и одно из неравенств должно быть строгим.

    В нашем случае, получим:

.

    Рассмотрим только конвективные члены ():

 – Получили даже в неявной схеме условие Куранта.

    Чтобы избежать этого ограничения, необходимо аппроксимировать не центральными разностями, а односторонними.

    Исследуем условие устойчивости схемы.

    В прежних обозначениях имеем:

.

.

.

    При  схема становится безусловно устойчивой.