Разностные схемы для системы уравнений газовой динамики

    Одномерная линеаризация системы уравнений Навье-Стокса:

    В случае изэнтропического течения при постоянной энтропии  можно выразить давление, как функцию от плотности:

    В этом случае уравнение энергии можно рассматривать независимо от уравнения движения. Тогда система (1) примет вид:

                                    (2)

1. При  (2) – уравнение газовой динамики.

2. При  (2) – система уравнений акустики.

Система уравнений (2) при  имеет вид:

.                                                (3)

, где .

    Рассмотрим несколько разностных схем.

1. Схема Маккормака:

    Это схема второго порядка аппроксимации . Преобразуем эту схему:

.                       (7)

.

Пусть

.

 

    Подставим волновой вектор в уравнение (7) и найдем условие на собственные числа оператора:

Пусть

,

тогда определитель имеет вид:

.

    Тогда отсюда можно найти собственные значения:

1.

2.

 – условие Куранта.

    Данная схема условно устойчива.

    Предложенная схема не является экономичной из-за ограничений на временной шаг.

Можно рассмотреть серию неявных схем, которые не обладают этим недостатком.

 

2. Схема с весами для систем уравнений газовой динамики.

, при .

    Подставим вектор гармоники и получаем следующее характеристическое уравнение:

,

где .

    Схема безусловно устойчива при .

    В отличие от одного уравнения, тут приходится считать систему алгебраических уравнений методом векторной прогонки, т.е. коэффициенты оказываются матрицами, порядок которых совпадает с числом уравнений, и приходится в каждой точке обращать матрицу. Таким образом, данная схема является неэкономичной.

    Поэтому желательно строить разностные схемы, которые реализуются скалярными прогонками (методы расщепления).

    Рассмотрим аппроксимацию частных производных в уравнениях газовой динамики несимметричными разностными операторами.

    Проводится исследование устойчивости:

и .

    Схема с согласованным порядком разностной аппроксимации.

    Схема является условно устойчивой.

    Для получения безусловно устойчивой схемы, необходимо слагаемые, отвечающие градиенту давления, аппроксимировать сопряженным разностным оператором по отношению к конвективным слагаемым.

    Эти схемы можно реализовывать скалярными прогонками.

    Для получения схем, которые будут реализовываться более просто, то есть либо по схеме бегущего счета, либо как явные схемы, часть слагаемых аппроксимируют на нижнем временном слое. Но все эти схемы становятся условно устойчивыми.

    Рассмотренные ранее схемы были неэкономичными в смысле того, что реализовывались в одномерном случае векторными прогонками, а в многомерном случае – матричными прогонками, или получались условно устойчивыми. Поэтому предлагается провести расщепление дифференциальных, а, следовательно, и разностных операторов, для получения более экономичных схем.

    Рассмотрим расщепление по физическим процессам.

.                                      (1)

.

 содержит слагаемые, связанные с конвективными членами уравнения.

 – коэффициенты, связанные с давлением и с членами .

.

.

 – порядок аппроксимации по пространству.

    Предлагается следующая схема расщепления в дробных шагах:

                                      (2)

    На первом дробном шаге:

    Так как  – диагональная, то уравнения можно считать скалярными прогонками независимо друг от друга. Для  можно считать по методу бегущего счета.

    На втором дробном шаге:

    Из первого уравнения выражаем  и подставляем во второе уравнение.

    После преобразований получили пятиточечную прогонку (при ). При  получим трехточечную прогонку.

    Приведенные схемы – условно устойчивы из-за согласованной аппроксимации слагаемых, соответствующих давлению. Для того, чтобы получить безусловно устойчивую схему, слагаемые с давлением необходимо аппроксимировать сопряженным разностным оператором. Это для схем с первым порядком аппроксимации.

    Выведем оператор шага от одного дробного слоя к другому.

    Тогда из (2) получаем:

    Аналогично,

.

схема безусловно устойчива.