Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Комплекс полной мощности.

 

Представление синусоидальных величин в комплексной форме Синусоидально изменяющуюся величину a=A_msin(wt+y_a) можно представить не только графически с помощью вектора, но и аналитически при помощи комплексного числа

                  

Комплексное число имеет три формы записи:

1.  алгебраическая форма - A _m = p + jq соответствует записи комплексного числа в виде вещественной p = Re A и мнимой q = Im A составляющих (в отличие от математики, в электротехнике буквой i обозначают ток, поэтому мнимую единицу принято записывать символом j);

1. тригонометрическая форма - A _m = A_m (cosy _a + j sin y _a) является результатом записи вещественной и мнимой составляющих через модуль A_m и аргумент комплексного числа y _a в виде p = A_m cosy _a и q = A_m siny _a;
2. показательная форма - A _m = A_m e ^{j y a} получается применением к тригонометрической форме формулы Эйлера cosy _a + j sin y _a = e ^{j y a};

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Если к резистивному элементу приложено синусоидальное напряжение, то по закону Ома имеем:

Если к индуктивному элементу приложено синусоидальное напряжение, то по закону Ома имеем:

Если к емкостному элементу приложено синусоидальное напряжение, то по закону Ома имеем:                                                                                                                         

В электрической цепи с последовательным соединением резистора, катушки индуктивности конденсатора комплекс полного напряжения определяют по формуле: 

 

                                                             

 

 

                            где

                          следовательно

 где  - комплекс полного сопротивления

Следовательно, закон Ома в комплексной форме имеет вид:

Отсюда можно записать комплекс полного сопротивления  в показательной форме: 

В цепях синусоидальных ЭДС ток и напряжение изменяются синусоидально, поэтому они могут быть представлены вращающимися векторами, а законы Кирхгофа записаны в векторной форме.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:

                                                        

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных напряжений в контуре равна алгебраической сумме комплексных ЭДС в том же контуре:

                                                

Комплекс полной мощности. Комплекс мощности в электрической цепи определяется умножением комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока этой цепи.

Умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока  и обозначим полученный комплекс через S̃:

                         

 

т.е. активная мощность P является действительной частью, а реактивная мощность Q – мнимой частью

 комплекса .

Основная литература: [2(110-111), 4(78-83)]

Дополнительная литература: [6(45-49)]

 

 

Контрольные вопросы:

1. Запишите выражения для резистивного, индуктивного и емкостного сопротивления в

комплексной форме [4(78-82)]

2. Запишите формулу комплексного сопротивления при последовательном соединении резистора,

катушки индуктивности и конденсатора.[4(84)]

3. Запишите закон Ома в комплексной форме для цепи с последовательным соединением резистора,

катушки индуктивности и конденсатора.[4(84)]

4. Изложите основы символического метода расчета электрических цепей. [4(61-66)]

5. Как можно определить характер электрической цепи, если вы знаете  комплекс полной мощности?

[4(113)]

Тестовые задания к Лекции 6:

1. Для повышения коэффициента мощности параллельно к приемнику подключают:

a) индуктивность;

b) емкость;

c) активное сопротивление;

d) индуктивность и активное сопротивление;

e) емкость и индуктивность.

 

2. На чем основан символический метод расчета электрических цепей

a) на использовании векторных диаграмм;

b) на использовании временных диаграмм;

c) на использовании тригонометрической форм записи синусоидальных величин;

d) на использовании комплексных чисел;

e) на использовании показательной формы синусоидальных величин

 

3. Чему равна мнимая единица j комплексного числа?

a) j =√2;

b) j =3,14;

c) j = –√1;

d) j=√–1;

e) j = –2√3.

 

4. Комплекс мощности определяется:

a) умножением комплекса напряжения и комплекса тока;

b) умножением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока;

c) умножением действительных значений напряжения и тока;

d) умножением мгновенных значений напряжения и тока;

e) умножением действительных значений напряжения тока на сопротивления.

5. Для цепи с параметрами R=0, X_C=20 Ом определить функцию тока, если известно, что напряжение выражается следующей функцией u=200sin(wt+30°)

a) i=14,1sin(wt+30°)

b) i=20sin(wt+60°)

c) i=14,1sin(wt+60°)

d) i=10sin(w t+120 °)

e) i=7sin(wt -30°)

Лекция 7: