Параллельное соединение потребителей. Графоаналитический метод расчета электрической цепи.

В электрической цепи с параллельным соединением приемников напряжения на каждой ветви одинаковы, а общий ток равен сумме токов ветвей. Такую электрическую схему можно рассчитать графоаналитическим методом. Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

                   , ,

Угол сдвига между током и напряжением в каждой ветви определяют с помощью :

           , ,

Общий ток в цепи равен алгебраической сумме токов всех ветвей: .

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме. Для проверки верности расчетов и графических построений угол сдвига фаз можно определить из выражения: ,

где   и   - активная и реактивная мощности вей цепи.

 

Активную мощность цепи можно найти как арифметическую сумму активных мощностей всех ветвей:                                     

 

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

                                           

Графоаналитический метод расчета имеет невысокую степень точности. Более точным методом расчета разветвленных цепей переменного тока является метод расчета через проводимости.

 

Проводимости в цепи переменного тока. В цепях переменного тока существуют три проводимости – полная (), активная (), реактивная (). Только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению и равна:

                                                                 .

Чтобы получить формулы для активной и реактивной проводимостей, разложим вектор тока на две взаимно перпендикулярные составляющие. Проекция вектора тока на направление напряжения называется активной составляющей вектора тока и обозначается .

 

Активная составляющая тока равна:  , где .

Проекция вектора тока на направление, перпендикулярное вектору напряжения, называется реактивной составляющей тока и обозначается .

 

 Реактивная составляющая тока равна: , где .

 Вектор тока и его составляющие  и  образуют прямоугольный треугольник, поэтому

 

                                                            .

 

                        

                                                                                   

Если стороны треугольника токов разделить на напряжение , то получим подобный треугольник, стороны которого будут равны активной -  , реактивной -    и полной - проводимостям. Из треугольника проводимостей получим   или 

 

                              

 

Закон Ома через проводимости. Для электрической цепи с двумя параллельными ветвями, параметры которых , построим векторную диаграмму.

 

 

 

Разложим токи в параллельных ветвях на их активные и реактивные составляющие. Как видно из векторной диаграммы, реактивная составляющая тока в активно-индуктивной ветви отстает по фазе от напряжения на угол , а реактивная составляющая тока в активно-емкостной ветви опережает напряжение на угол . Определим активную и реактивную составляющие общего тока:

 

, где

 

,  где ,

 

 т.е. активную и реактивную составляющие тока можно получить, умножая напряжение на соответствующие проводимости. Полная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей, а полная реактивная проводимость –алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельных ветвей. При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, а с емкостным характером – со знаком минус.

Из треугольника проводимостей следует:

Следовательно, закон Ома через проводимости имеет вид:

 

.

 

Резонанс токов. Резонанс токов может возникнуть в цепи с параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов. При резонансе токов общий ток совпадает по фазе с напряжением (). Это возможно, если реактивные составляющие токов ветвей с индуктивностью и емкостью равны по модулю:  .

 

Общий реактивный ток цепи, равный разности реактивных токов ветвей, в этом случае равен

нулю: .   

Ток в неразветвленной части цепи имеет только активную составляющую, равную сумме активных составляющих токов ветвей:   и принимает минимальное значение , что позволяет обнаруживать резонанс токов при изменении . Выразив реактивные токи через напряжения и реактивные проводимости, получим , откуда

     (1)

 Уравнение (1) называют условием резонанса токов. Если   и    больше, чем  , то токи в параллельных ветвях будут больше, чем ток в неразветвленной части цепи.  На рис. представлены резонансные кривые для параллельного контура.

 

На емкостном элементе ток возрастает пропорционально угловой частоте, на индуктивном элементе ток обратно пропорционален угловой частоте. Точка пересечения кривых  и     соответствует резонансу токов, при котором .

Резонанс токов применяют в электрических цепях для повышения коэффициента мощности . Повышение коэффициента мощности обеспечивается подключением конденсаторов параллельно потребителям электрической энергии, которые вследствие индуктивного характера нагрузки имеют низкий коэффициент мощности.

Основная литература: [2(100-111),3(88-100),4(78-123)]

Дополнительная литература: [6(61-65)]

 

 

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте алгоритм расчета электрической цепи графоаналитическим методом. [3(95-100)]

2. Дайте определение активного и реактивного тока. Нарисуйте треугольник токов. [3(97-98)]

3. Напишите формулы для определения активной, индуктивной, полной проводимостей

электрической цепи. Нарисуйте треугольник проводимостей. [3(97-98)].

4. Зависит ли реактивная проводимость катушки индуктивности от величины ее активного

сопротивления?[4(95-96)]

5. Запишите закон Ома через проводимости. [3(92)]

6. Дайте определение резонанса токов в электрической цепи.[2(100)]

7. В какой электрической цепи и при каких условиях возникает резонанс токов? Постройте векторную

диаграмму для резонанса токов. [2(100)]

8. От чего зависит коэффициент мощности   и для чего стремятся его повысить?[3(87-88)]

9. Сформулируйте алгоритм расчета электрической цепи через проводимости. [2(99-100)]

 

Тестовые задания к Лекции 7:

 

1. Условием резонанса токов при параллельном соединении активной проводимости (g), индуктивной проводимости (b~) и емкостной проводимости (b[a] является:

a) bL=g;

b) bc=g;

c) bL=bc;

d) bL>bc;

e) bL<< bc.

2. Явление резонанса токов происходит в цепях:

a) последовательным соединением R, L и С;

b) последовательным соединением R и C;

c) параллельным соединением R и L;

d) параллельным соединением R, L и C;

e) параллельно- последовательным соединением L, R и C.

 

3. К каким нежелательным последствиям может привести резонанс напряжений в цепях с реактивным сопротивлением много большего активного?

a) напряжение на реактивных элементах будет меньше напряжения источника;

b) напряжение на реактивных элементах будет равно напряжению источника:

c) напряжение на реактивных элементах значительно будет больше напряжения источника (перенапряжение);

d) напряжение на реактивных элементах будет равно нулю;

e) напряжение источника возрастет в 2 раза.

 

4. Оказалось, что при резонансе токов в цепи I₁=10 A, I₂=5 A, X_c=40 Ом. Определить величину индуктивного сопротивления X_L, Ом.

 

a) 40; 

b) 20; 

c) 10;  

d) 80;

e) 50.

 

5. Емкость конденсатора С=100 мкф. Чему равно емкостное сопротивление X_C при частоте f= 50 Гц?

a) 0,0002 Ом; 

b) 5000 Ом; 

C) 31,85 Ом;

d) 31400 Ом; 

e) 3, 185×10^-5 Ом.

11.2 Практические занятия. Не предусмотрены учебным планом.

Лабораторные занятия