Кафедра Информационные системы и телекоммуникации (ИУ-3)

Факультет информатика и управление (ИУ)

Кафедра Информационные системы и телекоммуникации (ИУ-3)

 

 

По курсу лекций «Основы теории управления

 и цифровая обработка сигналов», 3-й курс, 5-й семестр.

Отчет

По домашнему заданию №1 (ДЗ-1, 2016)

“Проектирование системы управления алгебраическим методом”

 

Группа ИУ3-51, вариант № 14, d 0 = 500, A _ж = (p2+2ηp+4η2) (p2+4ηp+8η2)

                                                Выполнил: Сёмин К.А.

 

Дата получения задания: 13.09.17

 

Дата готовности:                           

 

                              Проверил: Коновалов А. В.

 

.   

 

2017

Оглавление

 

Оглавление. 1

1. Цель работы. 2

2. Техническое задание. 2

Содержание работы.. 4

1. Определение структуры фильтра с учетом статических требований. 4

2. Вывод передаточной функции разомкнутой системы в общем виде. 6

3. Вывод передаточных функций замкнутой системы. 7

4. Характеристическое уравнение замкнутой системы. 8

5. Желаемое характеристическое уравнение замкнутой системы. 9

6. Расчет параметров фильтра. 9

7. Переходные процессы передаточных функций замкнутой системы. 10

8. АЧХ W₁(p). 16

9. АЧХ W₂(p). 17

10. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. 18

11. Сопоставление результатов. 19

12. Выводы: 20

 

 

Цель работы.

Освоение алгебраического метода теоретического проектирования автоматических систем управления и регулирования с заданными статическими и динамическими свойствами.

В зависимости от требований Технического задания необходимо выбрать:

· Выбрать структурную схему системы управления.

· Выбрать структуру и параметры фильтра.

· Исследовать статические и динамические свойства системы и доказать их соответствие требованиям Технического задания.

2. Техническое задание.

1. Назначение системы управления.

Система управления предназначена для поддерживания выходного параметра U _вых равным (пропорциональным) управляющему сигналу U _вх и нейтрализации внешних возмущений f, приложенных к объекту.

2. Передаточная функция объекта управления.

3. Структурная схема системы управления.

f xо Uвых yо Uвх ∆ Wф Wо

Рис. 1 Структурная схема системы управления.

        

4. Передаточная функция фильтра произвольного порядка:

Здесь kи v– порядки знаменателя и числителя фильтра соответственно. Структурой фильтра будем называть совокупность этих величин.

5. Суммирующие блоки

Суммирующие блоки в структурной схеме описываются соотношениями:

∆ = U _вх – U _вых (уравнение отрицательной обратной связи).

x = y + f           (3)

Совокупность приведенных выше уравнений полностью описывает работу системы управления.

6. Статистические требования к системе управления.

При ступенчатых воздействиях по U вх и f установившееся значение ошибки ∆ должно быть равно нулю.

7. Динамические требования к системе.

Длительность Т переходных процессов должна быть порядка T ≈ (3…5)/η, где η – степень устойчивости системы (наименьшая вещественная часть среди корней характеристического уравнения).

8. Исходные данные, вариант № 14.

b₀ = 2; d₀ = 500; η = 10.

Содержание работы

1. Определим структуру фильтра (величины v и k) с учётом статических требований:

Передаточная функция W _о (p) задана – неизменная часть системы

Здесь mи n –порядки полиномов числителя и знаменателя передаточной функции объекта (4) соответственно;

 и  – известные коэффициенты, причём

Последовательно с объектом включен корректирующий фильтр с передаточной функцией:

Здесьvиkпорядки полиномов числителя и знаменателя  соответственно

g_iи r_i– неизвестные коэффициенты, подлежащие определению из статических и динамических требований к системе управления, причём

При заданном объекте попытаемся подобрать такой фильтр, который обеспечивал бы произвольное расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы, то есть обеспечивал бы произвольное качество и длительность переходных процессов.

В соответствии со структурной схемой Рис. 1

Характеристическое уравнение замкнутой системы – знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю:

 (7)

 (8),

где  – корни характеристического уравнения

Порядок Nэтого уравнения равен сумме порядков полиномов знаменателей передаточных функций объекта () и фильтра()

Коэффициенты a_jхарактеристического уравнения (7) связаны с корнями p_jизвестными формулами Виета

(10)

Отсюда (10) видно, что,задав желаемое расположение корней p_jможно вычислить желаемое значение коэффициентов a_jхарактеристического уравнения (7) замкнутой системы

В характеристическом уравнении (7) неизвестными являются коэффициенты полиномов  и , соответственно, знаменатель и числитель передаточной функции фильтра (2)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p,можно получить систему для определения коэффициентов и  фильтра.

Согласно статическим требованиямпри ступенчатых воздействиях по U вх и f установившееся значение ошибки ∆(t) должно быть равно нулю, значит передаточная функция  должна содержать интегратор (нулевой полюс) с передаточной функцией , то есть должна иметь следующий вид:

Если передаточная функция объекта  не содержит интегратора, значит интегратор должна содержать передаточная функция корректирующего фильтра . Для выполнения этого условия необходимо равенство , тогда

Необходимым условием разрешимости системы уравнений(10) является равенство числа уравнений  и числаN_ф неизвестных (свободных) коэффициентов фильтра, т. е.

В нашем случае  (12)

Из равенства  получим необходимый минимальный порядок  числителя фильтра:

Порядок знаменателя фильтра произволен, но с учётом реализуемости фильтра:

Выберем фильтр наименьшего порядка:

(13)

Исходя из выше сказанного, запишем передаточную функцию фильтра в общем виде:

 (14)

Объект, заданный выражением  имеет m = 0 и n = 2–порядки числителя и знаменателя соответственно, тогда

(15)

Для заданного объекта W_o(p) запишем выражение для передаточной функции корректирующего фильтра:

Расчет параметров фильтра.

Рассчитаем параметры фильтра при помощи характеристического уравнения.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы и желаемое характеристическое уравнение.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях p и составим систему уравнений, зависящих от параметров фильтра.

В данной системе неизвестны r ₁, g ₀, g ₁ и g ₂, а b₀, d₀и η заданы вариантом.

b₀ = 2; d₀ = 500; η = 10.

Решим данную системуи получим:

Запишем передаточную функцию фильтра.

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

Сопоставление результатов

Сопоставим в одной таблице параметры переходных процессов и параметры частотных характеристик

Параметры переходных процессов	Начальное значение	0	0	1
	Установившееся значение	1	0	0
	Максимальное отклонение	1.1	0.00388	1
	Время переходного процесса	0. 429	0.524	0.429
Параметры частотных характеристик	Характерные точки	-	|W1max|=0.007 при ω=19	|W2max|=1.28 при w=49.2 |W2max|=0.93 при w=13 |W2min|=0 приw=22.5
		-	0	1
		-	0	0

 

11. Выводы:

Была спроектирована астатическая система управления, отслеживающая входное воздействие и нейтрализующая возмущающее воздействие. передаточная функция фильтра была выбрана исходя из статических и динамических требований системы управления. Теоретически и при моделировании в Simulink:

 и

Из этого следует, что статические требования к системе управления выполнены.

В работе приведены графики переходных процессов, на основании каждого графика было подсчитано время переходного процесса и перерегулирование. Длительность переходных процессов в системе управления является одного порядка с заданным (T ≈ (3…5)/η=0,3…0,5 c), значит качество переходных процессов считаем удовлетворительным.

Также былпроведён анализ построенных амплитудно-частотных характеристик передаточных функций замкнутых систем W₁(p) и W₂(p) и логарифмические характеристик передаточных функций разомкнутой системы W_раз(p). Начальные и конечные значения АЧХ передаточных функций полностью соответствуют теоретическим расчётам, а наклон в области частоты среза передаточной функции разомкнутой системы составляет -20 дБ/дек. Последнее означает, что замкнутая система стабильна, и переходной процесс в ней близок к апериодическому.

Факультет информатика и управление (ИУ)

Кафедра Информационные системы и телекоммуникации (ИУ-3)