Интерв. оценки коэф-ов лин. ур-ния регрессии

Рассм-им t-статистику:

Чтоб построить 100(1- )доверит.интервал по треб-му уровню знач-ти  и числу степени свободы,опред-ся критич. знач-е: , n-2, кот. удовл-ет след. усл-ю:

Подставим и получим.

= 1-

Выраж-ие в скобках и опред-ет доверит. интервал

10. Доверит. интервалы для завис.переменной. Одной из задач экон.модел-ния явл-ся прогноз-ние завис.перем-ной при опред.знач-ях независ.перем-ной. Пусть построено ур-ние регр-ссии ŷi=b₀+b₁x_i, i=1,n. Необх-мо на основе дан.ур-ния предсказать усл.мат.ожидание M(Y/x_p), перем-ной Y при X=x_p. Знач-ния ŷ_р=b₀+b₁x_р явл-ся оценкой мат.ожидания M(Y/x_p) Возникает вопрос: как сильно может откл-ся модельное знач-е ŷ_р от соотв-щего условного мат.ожидания M(Y/x_p) Покажем,что случ.величина Ŷ_р имеет норм.распред-ние. Для этого исполь-ем формулы для c_i и d_i: Ŷ_р= ŷi=b₀+b₁x_р=∑d_iy_i+∑c_iy_ix_p=∑(d_i+c_ix_p)y_i. След-но,случ.величина Ŷ_р явл-ся лин.комб-цией норм.случ.величин и сама имеет норм.распред-ние. Найдем мат.ож-ние и дисп-сию дан.случ.величины: M(Ŷ)=M(b₀+b₁x_p)=M(b₀)+M(b₁)x_p=β₀+β₁x_p, D(Ŷ_р)=D(b₀+b₁x_p)= D(b₀)+x_p²D(b₁)+2x_pcov(b₀,b₁), cov(b₀,b₁)=M[(b₀-M(b₀))(b₁-M(b₁))]=M[(b₀-β₀)(b₁-β₁)]=M[( -b₁ -( - β₁ ))(b₁-β₁)]=M[- (b₁-β₁)( b₁-β₁)]= - D(b₁) D(Ŷ_р)= D(b₀)+x_p²D(b₁)-2 x_pD(b₁)= +x_p²  - 2 x_p σ² = σ²( )= σ²( + ). Т.к. σ² по выборке не можно опред-ть, вместо нее подставим ее несмещен.оценку S²= , тогда получим выбор.исправл.дисп-сию случ.величины Ŷ_р: D(Ŷ_р)= S²(Ŷ_р)= S²( + ). В дальнейшем будем исполь-ть случ.величину t= , кот-е имеет распредел-е Стьюдента с числом степеней своб-ы ν=n-2. Опред-ем критич.точку t_kp= _n-2 , кот. удовлетв-ет след.условию Р( < t_kp)=1-𝛌.Подставим знач-е вместо t: P(- _n-2< < _n-2)= 1-𝛌, P(b₀+b₁x_р- _n-2 S(Ŷ_р)< )=1-𝛌. Выражение в скобках и опред-ет доверит.интервал для условн. M(Y/x_p).

11. Проверка общ.кач-ва ур-ния регр-сии. Мера общ.кач-ва ур-ния регр-сии,т.е.соотв-вия ур-ния стат.данным явл-ся кофф-т детерминации R²,кот.опред-ся по след.форм.: R²=1-  . реальн.значения завис.перем-ой отлич-ся от модельн.знач-ний на величину е_i: y_i=ŷ_i+e_i, i= . Последнее можно переписать:y_i- =(ŷ_i- )+(y_i- ŷ_i),где y_i- -откл-ние i-й наблюд.точки от ср.знач-я, ŷ_i-  -откл-ние i-й точки на линии регр-сии от ср.знач., y_i- ŷ_i-откл-ние i-й наблюд.точки от модельн.знач. Разделим обе части посл.выраж-я на лев.часть:

1= + ,

 получим тогда исходн.форм-у. Коэф-т детерм-ции R² опред-ет долю разброса завис.переменной, объяснимую ур-нием регр-сии. Коэф-т детерм-ции: 0≤ R²≤1. Чем ближе R² к 1,тем лучше кач-во построен.регр-сии. Судить о кач-ве ур-ния регр-сии можно и по ср.ошибке аппроксимации,кот.опред-ся:Ā=  ∑ *100%,если Ā≤10%, то построен.ур-ние регр-сии качеств-но.

Расчет коэф-в множ. регр-ии.

Данные набл-ий и соотв. коэф-ты в матрич. форме:

Y= X=  B= ; e=

Ф-ию Q=  в матрич. форме можно предст-ть как произв. вектор-строки  на вектор-столбец е. Вектор-столб. Е можно запис. в виде: е=У-ХВ. Тогда исход. ф-ию Q запиш. в виде: Q= *е= *(У-ХВ)= *У- У- ХВ+ ХВ= *У-2 У+ ХВ. Мат-ки док-но, что вектор-столб част-х произв-х ф-ии Q по оцен. парам-м имеет вид:

= -2 У+2 B. Приравняв = 0 получим ф-лу для вычис-я множ. лин-ой регр-ии:

У= Х)В => * У.

Обратная модель.

Обратной моделью(гипербола) называется модель вида: У= β₀+ β₁ 1/Х + ε. Она сводится к линейной модели заменой 1/Х=Х*.

Данная модель применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную У к к некоторому пределу β₀. 

12. Множ.лин.регр-сия.Опред-е парам-в ур-ния регр-сии.  На люб.экон.показатель чаще всего оказыв.влияние не 1, а неск.факторов.В этом случ.вместо парной рассм-ся множеств.регр-ссия:М(Y/x₁,x₂…,x_m)=f(x₁,x₂,…,x_m). Ур-ние множ.регр-сии в общ.виде: Y=f(β,X)+ε, где β=( β₀, β₁,…, β_m)-вектор теоретич.коэф-тов,кот.нужно определить. X=(X₁,X₂,…,X_m)-вектор независ.переменных. Теоретич.лин.ур-ние множ.регр-сии имеет вид:Y= β₀+β₁X₁+β₂X₂+…+β_mX_m+ε или в кажд.конкр. случае: y_i= β₀+ β₁x_i1+β₂x_i2+…+ β_mx_im+ε_i, i= . Число степеней свободы для множ.лин.регр-сии: ѵ=n-m-1. Если n>m+1, то возник-ет необх-сть оценив-ния теорет.коэф-тов регр-сии. Будем исполь-ть метод наим.квадр-в.Должны выполняться предпосылки Гаусса-Маркова и еще 2 предпос-ки:а) отсутствие мультиколлинеарности,т.е. между независ.перемен-ми должна отсутсв-ть сильная лин.завис-сть b)случ.отклонения ε_i, i=  должны иметь норм.распред-ние ε_i ~ N(0,6). Истинные значения коэф-тов по выборке опред-ть невозможно, поэтому строится импирич.ур-ние регр-сии: Ŷ= b₀+b₁X₁+b₂X₂+…+b_mX_m. Для каждого наблюдения мы получим: y_i=ŷ_i+e_i, i= . Для нахождения оценок b₀,b₁,…,b_m исполь-ся ф-ция Q(b₀,b₁,…,b_m)= = →min. Дан.ф-ция-квадратичная. Необх.условие сущ-ния минимума-рав-во нулю всех ее частн.производных 

=-2 =0, i= =-2 x_ij=0, j= .