Логарифмические (лог-линейные) модели.

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется степенным уравнением:

У= Х^β (1), где β и α- параметры модели подлежащие определению.

Функция (1) может отражать зависимость спроса У от его цены Х(β<0) или от дохода Х(β>0,функция Энгеля); зависимость объема выпуска У от использования ресурса Х(0<β<1, производственная функция).

Модель (1) не является линейной функцией относительно Х. производная зависимость переменной У по Х, указывающая на изменение У по отношению к изменению Х, будет зависеть от Х: dY/dX=αβХ^β-1,что присуще нелинейным моделям.

Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода является логарифмирование по экспоненте(е=2,71828).

Прологарифмировав обе части (1), получим:

lnY=lnα+βlnX (2).

Введем замену lnα=β₀ ,β=β₁,тогда (2) примет вид:

lnY=β₀+ β₁ lnХ (3).

С целью статистической оценки коэф. Добавим в модель случайное слагаемое ε и получим двойную логарифмическую модель-зависимая и объясняющая переменные заданы в логарифмическом виде:

lnY=β₀+ β₁ lnХ+ε (4).

Не являясь линейным относительно Х и У, данное уравнение является линейным относительно lnXи lnУ, а также относительно параметров β₀и β₁. Вводя замены lnX=Х^*и lnУ=У^*, (4) можно представить в виде:

У^*=β₀+ β₁Х^*+ε (5).

Модель (5)является линейной моделью. Если выполняются предпосылки классической линейной модели, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэф. β₀и β₁.

Отметим, что коэф.β₁ определяет эластичность переменной У по переменной Х, т.е.процентное изменение У для данного процентного изменения Х.

В случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вместо наблюдений (х_i,у_i) рассматриваются наблюдения (lnх_i, lnу_i). Вновь полученные точки наносятся на корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная замена удачна и использование логарифмической модели обосновано.

Данная модель данная модель легко обобщается на большее число переменных. Для степенного уравнения m переменных У=αХ₁^β1*…*Х_m^βm двойная логарифмическая модель будет иметь вид:

lnУ= β₀+β₁ lnХ₁+…+β_m lnХ_m+ε, где β₀= lnα.

Здесь коэф.β₁,…, β_m являются эластичностями переменной У по переменным Х₁,…, Х_m соответственно.Часто данная модель используется при анализе производительных функций.

 

Степенная модель

Степенной моделью называетсямодель вида Y=β₀+β₁X+β₂X²+…+β_mX^m+ε.

Например, кубическая функция Y=β₀+β₁X+β₂X²+β₃X³+ε в микроэкономике моделирует зависимость издержек TC от объёма выпуска Q (рис. а).

Квадратичная функция (парабола) Y=β₀+β₁X+β₂X² +ε может отражать зависимость между объёмом выпуска Q и средними AC либо предельными MC издержками (рис. б), или между расходами на рекламу C и прибылью P (рис. в) и т.д.

 

 

                              

 

 

Модель является линейной относительно коэффициентов регрессии β₀, β₁,…β_m.

Следовательно, её можно свести к линейной регрессионной модели. Заменяя X на X₁, X² на X₂, X^m на X_m, получаем модель множественной линейной регрессии с m переменными X₁, X₂,….X_m:

Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+…+β_mX_m+ε.

23/Полулогарифмические модели.

Полулогарифмическими моделями называют модели вида:

lnУ=β₀+ β₁Х+ ε

У= β₀+ β₁ lnХ+ε.

Такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо определятьтемп роста или прироста каких-либо экономических показателей.

Лог-линейная модель.Рассмотрим зависимость У=У₀ (1+r)^t,

Где У₀ – начальная величина переменной У (начальный капитал), r – процентная ставка, У₁ – значение переменной У в момент времени t. Модель легко сводится к полулогарифмической модели:

lnУ= lnУ₀+ t ln(1+r). обозначим lnУ₀=β₀, ln(1+r)=β₁,тогда:lnУ_t=β₀+ β₁t+ ε_t.

случайное слагаемое ε_t – возможность изменения процентной ставки.

Заменой lnУ_t=У_t* полулогарифмическая модель легко сводится к линейной модели.

Коэф.β₁ имеет смысл темпа прироста переменной У по переменной Х,т.е.характеризует отношение относительного изменения У к абсолютному изменению Х. умножив β₁ на 100, получим процентное изменение переменной У. поэтому полулогарифмическая модель обычно используется для измерения темпа прироста экономических показателей.