Постановка задачи о различии средних для зависимых выборок

Существует много практических задач, в которых две сравниваемые выборки взаимосвязаны в силу особенностей организации эксперимента или просто потому, что этой взаимосвязи нельзя избежать.

Примеры зависимых выборок:

- первая и вторая выборки состоят из наблюдений типа «до – после»;

- первая выборка – совокупность значений времени самостоятельного выполнения задания, а вторая – совокупность значений времени выполнения задания под наблюдением и при руководстве преподавателя.

В практике психологических, педагогических, медицинских исследований часто используются так называемые парные сравнения. При парных сравнениях нельзя использовать методы для независимых выборок, поскольку это приведет к большим ошибкам.

Парные сравнения выгодно использовать, если удастся организовать эксперимент так, что будет устранено влияние мешающих факторов (эффект обучения, усталость и т.д.). При парных сравнениях нельзя использовать рассмотренные выше методы для независимых выборок, поскольку это приведет к большим ошибкам. Для сравнения средних значений здесь используется модификация -критерия для связанных выборок. Особенность в том, что гипотеза формулируется в отношении разностей сопряженных пар наблюдений.

Для сравнения средних значений здесь используется модификация -критерия Стьюдента для зависимых выборок.

Постановка задачи. Даны две зависимыевыборки объема , то есть связанные пары наблюдений: , , …, . Проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий . Альтернативной гипотезой является гипотеза .

Условия применения -критерия для зависимых выборок

1. Измерение признака проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки случайно извлекаются из нормальных совокупностей с одинаковой дисперсией.

3. Предполагается, что разность связанных пар результатов измерения имеет нормальное распределение с параметрами и .

Критерий (правило) проверки гипотезы

1. Формулируем нулевую гипотезу : , что генеральные средние равны.

2. Формулируем альтернативную гипотезу .

3. Назначаем уровень значимости .

4. Делаем предположение о нормальном распределении разностей .

5. Вычисляется эмпирическое значение - критерия по формуле

,

где величины ; .

6. По таблице критических значений -критерия распределения Стьюдента находится критическое значение при уровне значимости и числе степеней свободы .

7. Сравниваем и . Если , то гипотеза отклоняется, так как попало в критическую область. Значит, наблюдаемое различие между средними значениями двух связанных выборок значимо на уровне значимости . Если , то различие между средними значениями двух связанных выборок статистически незначимо.