Метод электростатической аналогии

 

Между величинами, характеризующими электростатическое поле и электрическое поле постоянного тока в проводящей, существует полная математическая аналогия.

Аналогия электростатического поля в области, где нет свободных зарядов, и поля стационарных токов в проводящих средах, где нет сторонних сил, обусловлена полной аналогией соответствующих уравнений и граничных условий щ(табл.1).

Таблица 1

Электрическое поле постоянного тока	Электростатическое поле при отсут­ствии зарядов (r =0)

 

Можно сделать вывод об аналогии между зарядом q и током i, и между емкостью C и проводимостью g. Действительно, емкость между двумя телами, находящимися в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью ε, равна

. (1)

Проводимость между этими проводящими телами, помещенными в проводящую среду с удельной проводимостью можно записать как:

. (2)

Поделив (1) на (2), получим:

.

Отмеченная аналогия лежит в основе расчёта полей методом электростатической аналогии. Этот метод позволяет в ряде случаев при расчёте токов в проводящей среде воспользоваться готовыми аналитическими решениями аналогичных задач электростатики.

Аналогичными задачами являются задачи с одиаковой геометрией и одинаковми граничными условиями.

 

Расчёт тока утечки коаксиального кабеля

 

Изоляция коаксиального кабеля выполнена двухслойной (удельные проводимости: g ₁ = 5·10^-8 См / м и g ₂ = 2·10 ^-8 См / м; диэлектрические проницаемости e_{r 1} = 2 и e_{r 2} = 5). Напряжение U = 10 кВ. Геометрические размеры – r ₁ = 1 мм, r ₂ = 2 мм, r ₃ = 3 мм.

Рис.3.3.

Найти удельные тепловые потери в окрестности точки М, проводимости и ёмкости между телами, построить схему замещения системы.

Воспользуемся аналогией между электрическим полем в проводящей среде и электростатическим. ёмкости слоёв данного кабеля:

C₁₀ = = = 160,4 пФ/м;

C₂₀ = = = 873,5 пФ/м.

Проводимости слоёв и всего кабеля на единицу длины:

g ₁₀ = = = 0,454·10^-6 Cм / м;

g ₂₀ = = = 0,310·10^-6 Cм / м;

g ₀ = = = 0,1842 мкСм / м.

Плотность тока в окрестности точки М:

d = i ₀/ ( 2 pr ₂ ) = 1,841·10^-3/ ( 2 p ·2·10^-3 ) = 0,147 А / м ².

Удельные тепловые потери в окрестности точки М в слоях изоляции:

p₁ = d ²/g₁ = 0,147²/(5·10^-8) = 0,432·10⁶ Вт/м³ = 0,432 МВт/м³;

p₂ = d ²/g₂ = 0,147²/(2·10^-8) = 1,08·10⁶ Вт/м³ = 1,08 МВт/м³.

 

Заземлитель в виде шара

 

Заземлитель в виде шара расположен на сравнительно не­большой глубине h, соизмеримой с его радиусом R (рис.3.5). На рис.3.5 указаны граничные условия.

Рис.3.5

Применим к решению задачи метод электростатической аналогии.

Аналогичная электростатическая задача представлена на рис.3.6,а.

Применим к решению задачи метод зеркальных отображений. Дополним верхнюю полуплоскость диэлектриком и зеркально расположим там такой же шар с зарядом q, при этом граничные усло­вия на поверхности раздела сред не из­менятся (рис.3.6,б).

 

а)

б)

Рис.3.6

Расчёт потенциала поля в произ­вольной точке n производится по методу наложения:

.

При соотношении h>>R неравномерностью распределения заряда по поверхности шара пренебрегаем. Тогда потенциал на поверхности заземлителя будет ра­вен:

, откуда следует формула для определения емкости:

.

Для исходной задачи поля токов будем иметь.

.

Проводимость заземлителя:

.

Вопросы для самопроверки

 

1. Электрический ток является векторной или скалярной величиной?

2. Как определить емкость двухпроводной линии путем моделирования ее полем постоянных токов?

3. Что такое "шаговое" напряжение, как его рассчитать?