Электрический поверхностный эффект в плоской шине

 

Пусть вдоль шины направлен переменный ток. Положительное направление тока и расположение осей декартовой системы координат даны на рис5.3.

 

Рис.5.3

По закону полного тока найдем Напряжённость магнитного поля на поверхности шины. Так как в данной задаче, как и в предыдущей, h > 2 a, то при подсчете можно в первом приближении пренебречь составляющей интеграла вдоль горизонтальных сторон шириной 2 а.

Тогда, обозначив Напряжённость поля на поверхности шины через , получим 2 h=İ. Отсюда = İ/ 2 h.

При составлении уравнений для определения постоянных интегрирования учтем, что слева от шины Напряжённость ориентирована вдоль положительного направления оси y, а справа – в отрицательном направлении оси y.

Общее решение для плоской волны:

= Ċ₁e ^{p z} +Ċ₂e^{- p z}.

Постоянные интегрирования найдем, используя граничные условия:

при z = – а = Ċ ₁ e^{- p а} + Ċ ₂ e ^{p а},

при z = а – = Ċ ₁ e ^{p а}+ Ċ ₂ e^{- p а}

Совместное решение двух последних уравнений дает Ċ ₁ = – /2 sh p a.

Подставим Ċ ₁ и Ċ ₂в общее решение. Будем иметь

= – ·sh p z /sh p a = – (İ ·sh p z)/(2h ·sh p a).

Напряжённость электрического поля Ė направлена вдоль оси x и равна Ė = –d /(γ dz)

или Ė= (p İ ch p z) /(2 γ h ·sh p a).

Плотность тока в любой точке пластины

= γ Ė= p İ · ch p z /(2h ·sh p a).

Минимальное значение плотности тока будет в средней плоскости шины при z = 0.

Оно равно p İ/(2h ·sh p a).

График изменения модуля в функции от z представлен на рис. 5.4. На том же рисунке изображена вторая кривая, она дает зависимость модуля плотности тока от z.

Рис.5.4

Чем толще шина, чем больше γ, μ, и ω, тем сильнее проявляется поверхностный эффект. Если частота ω очень велика, то может оказаться, что ток будет протекать только по тонкому поверхностному слою шины.

При тонких шинах и относительно небольших частотах поверхностный эффект проявляется в малой степени.

Определение активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников на переменном токе часто производят при помощи теоремы Умова - Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в один метр и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику, получают комплекс сопротивления проводника на единицу длины (на один метр).

Действительно, .

В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное сопротивление прямоугольной шины длиной в один метр. Энергия в шину проникает с двух сторон. Поверхность шины с двух сторон на длине в 1 м равна 2 h1.

Z = R + jX = .

Эффект близости

Если поблизости от проводникаесть другой проводник с током, то второй проводник влияет на картину поля в первом проводнике. В результате этого влияния активное сопротивление такого провода, как правило, увеличивается по сравнению с активным сопротивлением уединенного провода. Влияние близлежащих проводников с током на сопротивления проводника называют эффектом близости.

Рассмотрим эффект близости на примере двух плоских шин, близко расположенных одна к другой (рис. 5.5, а).

Одна шина является прямым проводом, другая обратным. Если расстояние между шинами 2b такого, же порядка, что и толщина шин (2 а) и много меньше высоты h, то с известной степенью приближения Напряжённость магнитного поля в пространстве между шинами в два раза больше напряженности магнитного поля от одной шины в непосредственной близости от шины. А снаружи шин Напряжённость магнитного поля примерно равна нулю.

Для того чтобы убедиться в этом, воспользуемся принципом наложения. На рис. 5.5, б дан вид на пластины с торца. Сплошные стрелки на рис. 5.5 представляют Напряжённость поля от левой шины, пунктирные от правой. В пространстве между шинами напряженности складываются, снаружи вычитаются. В результате оказывается, что Напряжённость поля в пространстве между шинами H =2· I /2 h = I / h, а снаружи шин Напряжённость магнитного поля равна нулю.

 

Рис.5.5

 

Найдем постоянные интегрирования в выражении

= Ċ₁e ^{p z} +Ċ₂e^{- p z}.

При z= –a 0 = Ċ ₁ e^{- p a} +Ċ ₂ e ^{p а}. При z = a – İ/h = Ċ ₁ e ^{p a} +Ċ ₂ e^{- p а}.

Отсюда Ċ ₁ = –İe ^{p a}/(2h sh 2 p a) и Ċ ₂ = İe^{- p a}/(2h sh 2 p a).

Следовательно,

= – İ(e ^{p a+ p z}–e^{- p a- p z})/2h sh 2 p a= – İ sh p (a+z) /(h sh 2 p a) и

Напряжённость электрического поля Ė= p İch p (a+z)/(γh sh 2 p a).

Если придавать z значения от – а до а, то по написанным выше формулам могут быть построены кривые изменения модулей Ė и в функции от z. Такие кривые качественно изображены на рис.5.6.

 

Рис.5.6

Для правой шины кривые построены на основании симметрии поля. Если не учитывать искажающего действия торцов, то электромагнитная волна в каждую из шин проникает только через поверхности их, обращенные друг к другу. Через наружные поверхности электромагнитная волна не проникает, так как там Н = 0. Комплекс сопротивления одной шины на единицу длины

Z _вн.1= .

Рассмотрим числовой пример. Пусть ток в 10 а течет по двум таким же шинам, с которые рассматривали в предыдущем параграфе (h = 2см, 2 а = 0,1 см ). Одна из шин является прямым проводом, другая обратным. Подсчитаем комплекс сопротивления одной шины на единицу длины с учетом эффекта близости и сравним его с сопротивлением уединенной шины(когда эффекта близости нет):

th 2 p a = (sh 3,74+ j sin 214˚)/(ch 3,74+ cos 214˚) = 1,04 e ^-j1˚30′.

Следовательно,

Z _вн.1= p /(γh th 2 p a) =18,7√2 e^{j 45˚}/(5,6·10⁷·21,04· e ^{- j 1˚ 30′}) = 22,5·10^-4 e ^{- j 46˚ 30′};

R =15,7·10^-4 Ом/м; Х _вн=16,34·10^-4 Ом/м.

Таким образом, влияние второй шины на поле в первой шине привело к тому, что активное сопротивление одной шины возросло с

9,5·10^-4 до 15,7·10^-4 Ом/м.

Для определения комплекса полного сопротивления единицы длины петли, образованной двумя шинами, кроме собственного сопротивления самих шин, надо учесть еще индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами.

Последнее равно:

Х _внешн = ωL _внешн = ω Ф _внешн/ I = (ωμ₀H · 2в ·1)/ I =μ₀ω 2 в / h.

Комплекс полного сопротивления единицы длины петли

Z _полн=2 r _вн+ j (2 x _вн + x _внешн).