Отображения множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Методика введения понятия «функция» в школьном курсе математики.

Опр-ие. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Обозначение. f: A→B. Здесь, f– имя (наименование) отображения. Если a A– элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают f(A) и пишут a A→f(a) B. Элемент f(a) называют значением отображения "в точке а" или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента f(a).

Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения) f и обозначают Domf=D(f), а множество значений f обозначают Imf и называют образом отображения f. Imf является подмножеством множества В: .

Отображение f называется инъективным отображением, если ∀y∈Y y=f(x)является образом единственного x.Отображение f называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве Y являются образами какого-либо x. (Это отображение множества X на множество Y).Отображение ff называется биективным, если оно инъективно и сюръективно, в противном случае такое отображение назвается взаимно однозначным соответствием.

Определение. Множества X и Y называются эквивалентными (равномощными), если они находятся во взаимно однозначном соответствии.

Предел и непрерывность функции в точке.

Опр 1. Пусть функция y = f (x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. (1)

Таким образом, условие непрерывности функции y = f (x) в точке х₀ состоит в том, что:

1) значение функции в точке х = х₀ есть определённое число f (x₀);

2) предел функции y = f (x) при стремлении х к х₀ как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;

3) числа и f (x₀) равны.

Так как , то равенство (1) можно записать в виде (2)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

Опр2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Свойства функций, непрервных в точке

1. Если функции f (x) и φ (x) непрерывны в точке х ₀, то их сумма f (x) + φ (x), произведение f (x)* φ (x) и частное f (x)/ φ (x) (при условии φ (x₀) ≠0) являются функциями, непрерывными в точке х ₀.

2. Если функция у = f (x) непрерывна в точке х ₀ и f (x ₀)>0, то существует такая окрестность точки х ₀, в которой f (x)>0.

3. Если функция у = f (u) непрерывна в точке u₀, а функция u= φ (x) непрерывна в точкеu₀= φ (x₀), то сложная функция y = f [ φ (x)] непрерывна в точке х ₀.