Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом.

Пусть на плоскости задана плоская фигура , и пусть непрерывная функция - плотность распределения ее массы. Разобьем фигуру на части сетью гладких кривых и, предполагая, что в пределах одной части плотность распределения масс постоянна, получаем приближенное выражение для массы:

.

В пределе имеем

.

Аналогично выводятся формулы для статических моментов первого порядка и относительно осей и :

и ,

Координаты центра тяжести пластинки вычисляются по формулам:

.

Вторые статические моменты (моменты инерции относительно осей и ) вычисляются по формулам:

и .

Наконец, момент инерции относительно начало координат имеет вид

 

.

 

2. Механические приложения тройного интеграла

 

Аналогично двумерному случаю можно выписать следующие формулы.

Масса тела:

.

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:

Координаты центра тяжести

.

 

Вторые статические моменты:

 

 

.

 

ЛЕКЦИЯ 7

Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения

 

1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление

 

Пусть в параметрически задана кривая .

Будем предполагать, что кривая является гладкой(кусочно-гладкой), т.е функции непрерывно дифференцируемые: . Такая кривая является спрямляемой. В этом случае длину дуги части кривой, отвечающей отрезку можно вычислять при помощи формулы

.

Если -длина части кривой, отвечающей отрезку .

Пусть -разбиение отрезка , - разметка разбиения,

.

Образуем интегральную сумму

.

Будем говорить, что для функции существует криволинейный интеграл первого рода по кривой , если существует , не зависящий от . Т.е

Значение интеграла полагают равным числу А:

.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода:

1. .

2. Если .

3.Если на , то .

4. ,

где - длина

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

По определению интеграла сумма является интегральной суммой для интеграла Римана-Стилтьеса поэтому .

Если , - гладкая кривая, то

Если кривая задана в трехмерном пространстве

, то аналогично

 

 

2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода

 

Геометрическое приложение: Вычисление длины кривой.

Длина кривой

Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести.

Пусть сначала - плоская кривая - плотность на кривой . Имеют место следующие формулы:

Масса

.

Первые статические моменты относительно осей и

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно осей и

 

 

Момент инерции относительно начала координат

.

Пусть теперь - пространственная кривая, -плотность на кривой . Имеют место следующие формулы:

Масса

.

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно координатных плоскостей:

 

 

Момент инерции относительно начала координат

 

ЛЕКЦИЯ 8

Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в R²

 

 

1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл

 

Пусть - гладкая кривая,

.

Пусть - разбиение отрезка ,

- мелкость разбиения,

- разметка разбиения.

Образуем следующую интегральную сумму:

Будем говорить, что для функций существует криволинейный интеграл второго рода по кривой в направлении возрастания параметра (от начальной точки кривой к конечной точке), если существует , не зависящий от , т.е.

Этой интеграл имеет следующее обозначение

.

Он зависит от ориентации кривой

В случае замкнутой кривой различают положительную и отрицательную ориентацию: против часовой стрелки и по часовой стрелке.

Этот случай подчеркивают следующим обозначением

.

Функции в записи интеграла можно считать координатами вектора . Его называют векторным полем, заданным на кривой .

Обозначим

Криволинейный интеграл определяет работу векторного (силового) поля вдоль кривой в направление от точки А к точке В. Работу по замкнутой кривой часто называют циркуляцией.

 

2. Формула Грина

 

Теорема (Формула Грина). Пусть в односвязной области задано векторное поле таким, что функции - непрерывные в Е.Кривая , множество , ограниченное этой кривой выпуклое. Тогда справедлива формула

.

Здесь кривая обходится в положительном направлении.

Доказательство. Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

y

y = y₂(x)

D

A

C

B

y= y₁(x)

 

0 x₁ x₂ x

 

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

 

 

Рассуждая аналогично, для области правильной при проектировании на ось , получим

(2)

Складывая (1) и (2), получим формулу Грина.

 

3. Условия независимости интеграла от пути в R ²

 

Лемма. Работа векторного поля не зависит от пути тогда и только тогда, когда любая циркуляция равна 0.

Доказательство. Пусть произвольный замкнутый контур, точки А и В – любые точки на . Тогда

.

Работа векторного поля не зависит от пути .

Лемма доказана.

Векторное поле называется потенциальным, если существует функция 2-х переменных - скалярное поле такое, что ,т.е .

Замечание. В дифференциальных уравнениях уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах называется уравнением в полных дифференциалах, если существует скалярное поле : .

В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид

Теорема. Если в односвязной области функции непрерывны, то следующие условия эквивалентны:

1) поле - потенциальное в ;

2) в ;

3) Работа поля в не зависит от пути.

Доказательство. Будем следовать схеме .

 

·

Поле - потенциальное в , поэтому -скалярное поле: , т.е.

 

.

·

Достаточно проверить, что любая циркуляция в равна 0.

Используем формулу Грина, получим

.

·

Покажем, что следующее скалярное поле и есть искомый потенциал:

Итак,

-потенциальное поле в .

 

ЛЕКЦИЯ 9

Площадь поверхности в R³. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения

 

1. Площадь поверхности в R ³

Поверхность в задается параметрически при помощи 2 параметров

,

,

- поверхность в .

Иногда поверхность задают при помощи одной функции двух переменных

.

Поверхность называется гладкой если:

.

Из этих частных производных можно записать матрицу Якоби нашего отображения

.

Точку назовем не особой, если ранг А в этой точке максимален и равен двум. В не особой точке векторы-столбцы являются линейно не зависимыми.

 

Выясним геометрический смысл этих векторов. Эти векторы - касательные векторы к линиям на поверхности. В не особой точке эти касательные векторы не коллинеарные.

Можно показать, что все касательные векторы к кривым на поверхности, проходящие через , лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

В не особой точке уравнение касательной плоскости можно записать с помощью точки и двух касательных векторов :

.

Рассмотрим вектор .

Очень часто в качестве нормального вектора будем использовать единичный нормальный вектор

 

Определим первую квадратную форму на поверхности. Пусть

Таким образом, п ервая квадратичная форма на поверхности имеет вид:
.

Определение. Площадью гладкой поверхности , -измеримо по Жордану, называется число: .

Преобразуем эту формулу для площади поверхности

2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление

 

Пусть поверхность ,

- непрерывная функция.

Определение. Поверхностным интегралом первого рода по поверхности от функции называется число

.

Здесь - элемент площади поверхности.

Данное определение справедливо и для кусочно-гладкой поверхности, т.е. поверхности, которая может быть разбита на конечное число гладких участков.

Поверхностный интеграл первого рода сводится к некоторому двойному интегралу и для него справедливы все его свойства.

 

3. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода

 

Геометрическое приложение: Вычисление площади поверхности

Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести поверхности, начиненной веществом с плотностью .

Масса: .

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:

Координаты центра тяжести:

.

Вторые статические моменты относительно координатных плоскостей:

 

Статический момент (момент инерции) относительно начала координат:

.

 

ЛЕКЦИЯ 10