Сходимость и сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши

 

1. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимые условия сходимости

 

Пусть последовательность действительных чисел,

- числовой ряд. (1)

Составим последовательность частичных сумм:

последовательность частичных сумм.

Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S – его суммой. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда .

Составляем последовательность частичных сумм:

,

.

остаток сходящегося ряда, последовательность остатков.

Первое необходимое условие сходимости. Частичные суммы сходящегося ряда – ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).

Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:

Второе необходимое условие сходимости У сходящегося ряда предел общего члена равен нулю

Доказательство. Доказано.

Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого

неограниченная, наименьшее слагаемое .

Пример. расходится, т.к.

Предположим, что

противоречие.

2. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши

 

1. Критерий сходимости: ряд сходится

Доказательство. Доказано.

2. Сходимость ряда не нарушится, если добавить или отбросить конечное число слагаемых.

3. Множество сходящихся радов образуют линейное пространство:

если

4. Критерий Коши: ряд (1) сходится фундаментальная, т.е.

Пример. гармонический ряд (расходящийся).

т.е. не выполнен критерий Коши, ряд расходится.

-функция Римана.

Задача. Исследовать сходимость ряда сумма бесконечной геометрической прогрессии. Доказать, что при ряд сходится,

Решение.

 

ЛЕКЦИЯ 14

Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости. Признаки сравнения. Признак Даламбера

 

 

1. Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости

 

Пусть

положительный ряд (1).

Теорема. Ряд (1) – сходится тогда и только тогда, когда последовательность ограниченная.

Доказательство. Необходимость.

Известно как необходимое условие сходимости.

Достаточность.

ограниченная т.е. сходится (по теореме Коши о пределе монотонной последовательности). Доказано.

Замечание. У положительного ряда достаточно проверять ограниченность только некоторой подпоследовательности частичных сумм.

 

2. Признаки сравнения

Теорема. Если даны два ряда то:

1) если - сходится, то - сходится;

2) если - расходится, то - расходится.

Доказательство.

1) Пусть подпоследовательность частичных сумм ряда , подпоследовательность частичных сумм ряда ограниченная сверху (по необходимому условию сходимости), ограниченная сверху сходится.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказано.

Замечание. В признаке сравнения выполнение неравенства достаточно требовать для

При использовании признака сравнения можно использовать сравнение последовательностей:

1. если и ряд сходится, то ряд (1) сходится;

2. если то сходимости и эквиваленты;

3. то сходимости и эквивалентны.

Пример. Исследовать на сходимость :

расходится, а значит и данный ряд расходится.

Признак сравнения в предельной форме

Если даны то

1) если ряд сходится, то ряд - сходится;

если ряд расходится, то ряд - расходится.

Обобщенный признак сравнения

Теорема. Если даны то

1) если - сходится, то - сходится;

2) если - расходится, то - расходится.

Доказательство.

1) Имеем или или или

Þ - сходится.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказано.

Замечание. В обобщённом признаке сравнения выполнение неравенств достаточно требовать для

3. Признак Даламбера

 

Если для ряда то

Доказательство. Пусть тогда ряд сходится, расходится, но

Пусть тогда и для сходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пусть

Значит, ряд расходится.

Доказано.

Признак Даламбера с использованием нижнего и верхнего предела:

1) Если то ряд сходится.

2) Если то ряд расходится и

ЛЕКЦИЯ 15