Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля.

Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода.

Теорема Гаусса-Остроградского. Соленоидальное поле. Дивергенция

 

1. Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля

 

Будем рассматривать гладкие двусторонние поверхности. Сторона выбирается с помощью нормали к поверхности.

Пусть некоторая двусторонняя поверхность, - векторное поле на поверхности . Нам необходимо определить поверхностный интеграл второго рода по какой-то стороне поверхности для векторного поля . Этот интеграл запишется следующим образом:

.

Определим интеграл . Остальные интегралы будут определяться аналогично.

Пусть . Стороны на этой поверхности можно выбирать следующим образом:

- это сторона поверхности, нормаль к которой образует с осью острый угол;

- это сторона поверхности, нормаль к которой образует с осью тупой угол.

В таком случае положим

.

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода – вычисление потока векторного поля через поверхность в направлении нормали .

 

2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода

 

Имеем

Отсюда

.

 

3. Теорема Гаусса-Остроградского

 

Пусть замкнутая поверхность с внешней нормалью к. - тело, ограниченное этой поверхностью, .

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема ( теорема Гаусса - Остроградского). Справедливо равенство:

 

где

- дивергенция поля .

Доказательство. Имеем ,

.

Поэтому достаточно доказать следующие равенства:

, ,

Пусть . Тогда

Далее

Аналогично , .

Теорема доказана.

Из теоремы Гаусса – Остроградского вытекает важная в приложениях вторая формула Грина.

Пусть - пространственное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью . На поверхности выбрана сторона с помощью внешней нормали. В теле заданы два гладких векторных поля и . В этих предположениях выполняется утверждение.

Теорема (вторая формула Грина) Справедливо следующее равенство

,

где - производная по направлению внешней нормали .

Доказательство. Имеем

.

Согласно теоремы Гаусса - Остроградского

 

где поверхностные интегралы второго рода взяты по внешней стороне поверхности , ограничивающей область . Пусть . Тогда поверхностные интегралы второго рода в правых частях могут быть записаны как поверхностные интегралы первого рода:

Окончательно получим

 

4. Соленоидальное поле. Дивергенция

 

Векторное поле в области называется соленоидальным, если для любого замкнутой поверхности поток через нее равен нулю. Из теоремы Гаусса – Остроградского вытекает следующее утверждение.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

1) Поле - соленоидальное в E;

2) в области E;

3) существует векторное поле .

 

ЛЕКЦИЯ 11

Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в R³. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор

 

1. Формула Стокса

 

Пусть

- двусторонняя поверхность

.

Тогда множество - граница (или край) поверхности S.

Теорема (Формула Стокса ). Если ориентации на и согласованы, то

Доказательство. Необходимо доказать равенство

или три равенства

Для простоты докажем первое равенство в предложении, что поверхность

.

Имеем

Что и требовать показать.

 

3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор

 

Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярное поле - потенциал такой, что

т.е. есть решение системы

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

В случае, когда векторное поле является силовым полем, циркуляция даёт величину работы этого поля вдоль кривой L.
Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

.

2. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в R ³

Лемма. Работа векторного поля в области не зависит от пути, а зависит только от начала и конца пути любая циркуляция в E равна 0.

Доказательство. Точно такое же, как в плоском случае.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

1) поле потенциальное, в односвязной области E;

2) ротор в области E;

3) работа поля в E не зависит от пути.

Доказательство. Будем следовать схеме .

:

.

Имеем

Отсюда . Аналогично доказываются остальные равенства.

ЛЕКЦИЯ 12

Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле, уравнение Лапласа, гармонические функции. Разложение произвольного векторного поля, уравнение Пуассона. Ортогональные криволинейные координаты. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах

 

 

1. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка

 

Рассмотрим скалярное поле и векторное поле .

Дифференциальными операциями первого порядка называются операции

где - оператор набла.

Дифференциальными операциями второго порядка называются попарные комбинации операций первого порядка. Рассмотрим эти операции

· . Имеем

Выражение называется оператором Лапласа.

· . Имеем

· . Имеем

· . Имеем

.

 

2. Гармоническое поле, уравнение Лапласа, гармонические функции

 

Векторное поле, которое одновременно является и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.

Пусть поле гармоническое

Итак, потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению - уравнению Лапласа

.

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.

 

3. Разложение произвольного векторного поля, уравнение Пуассона

 

Теорема. Для любого векторного поля справедливо разложение: , где - потенциальное поле, - соленоидальное поле.

Действительно, по определению потенциального поля есть градиент некоторого скалярного поля u: . Поэтому для вектора имеем

Чтобы векторное поле было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию , откуда . Таким образом, для скалярного потенциала поля получаем уравнение

,

называемое уравнением Пуассона: .

 

4. Ортогональные криволинейные координаты. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах

 

Дифференциальный оператор Лапласа второго порядка для функции переменных задается равенством

Тогда

- уравнение Лапласа.

Если - ортогональные координаты, то оператор Лапласа в новых координат примет следующий вид:

Оператор Лапласа в полярных координатах в :

.

 

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах:

Оператор Лапласа в сферических координатах:

 

 

ЛЕКЦИЯ 13