Функционалы и функциональные пространства

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными [1].

Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует определенное значение .

Рис.2.1. Длина дуги кривой – функционал от функции

Считается, что функционал задан, если каждой функции или кривой поставлено в соответствие некоторое число .

Например, функционалом является длина дуги кривой, соединяющей две точки и (рис.2.1). Величина может быть вычислена, если задано уравнение кривой :

.

Запишем общее выражение для функционала в виде

, (2.1)

где - одна из возможных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке .

Существует связь задачи вариационного исчисления с задачей отыскания экстремума функции многих переменных: если разбить отрезок на частей и рассмотреть ломаную линию вместо кривой , а функционал заменить суммой

, (2.2)

где , то вариационная задача трансформируется в задачу о нахождении экстремума функции переменных и может быть решена классическими методами. Такой подход впервые был предложен Л. Эйлером.

Определение. Пространство, элементами которого, являются функции, называется функциональным.

Функциональные пространства выбираются в соответствии с характером вариационной задачи. Например, при рассмотрении функционалов вида

функция должна иметь непрерывную первую производную; при рассмотрении функционалов вида

функция должна иметь непрерывные первую и вторую производные и т.д.

Назовем линейным пространством совокупность элементов , для которых определены операции сложения и умножения на число и выполняются следующие аксиомы:

1. коммутативности сложения ,

2. ассоциативности сложения ,

3. существования нулевого элемента ,

4. существования противоположного элемента

: ,

5. существования единичного элемента ,

6. ассоциативности умножения , где и - числа,

7. дистрибутивности по сложению ,

8. дистрибутивности по умножению .

Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число (норма этого элемента) такое, что выполняются свойства:

1. только при ,

2. ,

3. .

Введем понятие близости элементов, используя понятие нормы их разности, которое аналогично понятию расстояния между точками в эвклидовом пространстве.

Рис.2.2. Сильная окрестность кривой

Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке . Норму функции определим как . Расстояние между точками пространства будет . Функции и близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности не превышает некоторой наперед заданной малой положительной величины : . Такая окрестность называется сильной (рис. 2.2).

Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывные первые производные. Очевидно, . Функции и близки в смысле близости первого порядка, если и , а также не превышают некоторой наперед заданной малой положительной величины : , , . Такая окрестность называется слабой (рис. 2.3).

Рис.2.3. Слабая окрестность кривой

Соответственно вводится понятие близости k-ого порядка, соответствующее функциональному пространству .

Определение. Функционал называется непрерывным при , если для любого положительного можно подобрать , что при , где - норма, определенная в смысле близости функций и k-го порядка

Определение. Линейным называется функционал , удовлетворяющий следующим условиям.

1. Функционал является непрерывным,

2. ,

3. .

Общий вид линейного функционала

. (2.3)

2.2. Вариация функционала.