Необходимое условие экстремума функционала

Рассмотрим некоторый функционал и его приращение , где - вариация .

Определение. Вариацией функции , принадлежащей определенному классу функций, называется разность между двумя функциями при одинаковом значении аргумента : .

Определение. Если можно представить в виде

, (2.4)

где при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. , называется вариацией функционала и обозначается .

Функционал достигает экстремума при , если величина приращения функционала сохраняет свой знак в некоторой окрестности . Различают сильный и слабый экстремумы.

Если существует величина , что сохраняет знак для всех , входящих в пространство (класс) , у которых норма , то говорят, что при достигается слабый экстремум функционала. Аналогично, экстремум называется сильным, если сохраняет знак для всех и удовлетворяет условию . Всякий сильный экстремум будет одновременно и слабым, а слабый сильным быть не может, так как достигается на более узком множестве функций.

Теорема. Для того, чтобы функционал достигал экстремума при , необходимо, чтобы при .

Доказательство

Пусть функционал имеет минимум при , тогда

.

С другой стороны .

При достаточно малом знак определяется знаком , а в силу линейности имеем: . Следовательно, может быть и меньше и больше 0 при сколь угодно малом разного знака, т.е. экстремум невозможен. Противоречие устраняется, если . Аналогично доказывается необходимое условие максимума функционала.

2.3. Простейшая задача вариационного исчисления

(задача с закрепленными концами). Основная лемма

Вариационного исчисления. Уравнение Эйлера

Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями , .

Лемма. Если для каждой непрерывной функции

,

где функция непрерывна на отрезке , то на том же отрезке.

Доказательство

Предположив, что в точке , лежащей на отрезке , , придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции следует, что если , то сохраняет знак в некоторой окрестности точки ; выбрав функцию также сохраняющую знак в этой окрестности и равную нулю вне этой окрестности, получим

,

так как произведение сохраняет знак на интервале и обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно, .

Теорема. Для того, чтобы функционал

,

определенный на множестве непрерывных функций , имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям , , достигал на экстремума, необходимо, чтобы функция удовлетворяла уравнению Эйлера

, (2.5)

или в развернутом виде

. (2.6)

Доказательство

Получим формулу для первой вариации функционала. Применяя операцию варьирования подынтегрального выражения при условии, что , получим

. (2.7)

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что , получим

. (2.8)

Но поскольку концы экстремали закреплены, то , , и получаем необходимое условие экстремума в виде

. (2.9)

В силу основной леммы вариационного исчисления, поскольку , получаем результат (2.5).

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями, только на них достигается экстремум рассматриваемого функционала. Чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума.

Краевая задача для уравнения (2.6) с граничными условиями , не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

Получим необходимые условия экстремума функционала , зависящего от независимых функций :

при заданных граничных условиях всех функций

, ,..., ,

, ,..., .

Если варьировать одну из функций , оставляя остальные неизменными, то рассматриваемый функционал превращается в функционал, зависящий лишь от одной функции, которая, следовательно, должна удовлетворять уравнению Эйлера

.

Так как это рассуждение применимо к любой функции , то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка

, (2.10)

определяющих -параметрическое семейство интегральных кривых (экстремалей).

Поле экстремалей

Если на плоскости через каждую точку некоторой области проходит одна и только одна кривая семейства , говорят, что это семейство кривых в области образует собственное поле. Угловой коэффициент касательной к кривой семейства , проходящей через точку , называется наклоном поляв точке : .

Поле называется центральным, если кривые покрывают всю область и нигде не пересекаются кроме одной точки (центра пучка кривых), принадлежащей области .

Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно называется полем экстремалей.

Говорят, что экстремаль включена в поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей , образующее поле, содержащее при некотором значении экстремаль , причем последняя не лежит на границе области .

Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства пересекаются в точках -дискриминантной кривой, определяемой уравнениями

, .

Если дуга экстремали не имеет отличных от точки общих точек с -дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то достаточно близкие к дуге экстремали пучка не пересекаются, т.е. образуют в окрестности дуги центральное поле, включающее эту дугу.

Если дуга экстремали имеет отличную от точки общую точку с -дискриминантной кривой пучка экстремалей, то близкие кривые пучка могут пересекаться между собой вблизи точки и, вообще говоря, поля не образуют. Точка называется точкой, сопряженной с точкой и является точкой пересечения двух бесконечно близких кривых семейства .

Условие Якоби. Для построения центрального поля экстремалей с центром в точке , содержащего дугу экстремали, достаточно, чтобы точка , сопряженная с точкой , не лежала на дуге .