Практическое занятие 6. Расчет технологических показателей при разработке нефтяных месторождениях с использованием интеграла Дюамеля

qзв2

qзв1

qзв0

λ 1 λ2 λ3 λ

Рисунок 6. Схема изменения давления на контуре питания во времени

Задача 9. Внешний и внутренний контуры нефтеносности однопластового нефтя ого месторождения имеют форму, близкую к окружностям (рис. 14). Площадь месторождения можно представить в виде круга радиус м R = 2000 м. Нефтяная залежь окружена обширной водоносной областью, из к торой в нефтеносную часть пласта поступает вода при снижении пластового давления в процессе разработки месторождения.

Начальное пластовое давление ^р 0 =20 МПа, давление насыщения нефти газом ^рнас =9МПа,газосодержание Г ₀=50м³/т.

По данным гидродинамических и лабораторных исследовании установлено, что средняя проницаемость как нефтеносной, так и водоносной частей пласта одинакова и составляет 0,5∙10^-12 м². Толщина пласта в среднем h =10м;средняя пористость т= 0,3;начальная нефтенасыщенностьs_Н0=0,95;насыщенность пласта связанной водой S_св=0,05. Вязкости нефти и воды в пластовых условиях равны соответственно: µ_н= 2,0 мПа∙с, µ_в =1,0 мПа∙с. Плотность пластовой нефти ρ_н =0,85 т/м³, воды ρ_н=1,0 т/м³. Объемный

коэффициент нефти b_н = 1,2. Коэффициент упругоемкости пласта β = 5∙10^-10 Па^-1.

Средний дебит жидкости одной скважины q_ж= 69,1 м³/сут.

Месторождение разбуривается по равномерной сетке.

Добыча жидкости из месторождения изменяется во времени следующим образом:

_{qж(t) =} ^a 0 ^t _{при 0≤} t £ t ^*

q_max при ^{t f t *}

где ^{t *} — время ввода месторождения в разработку (^{t *} = 3 года); ^a 0 = 0,667∙10⁶ м³/год². Коэффициент эксплуатации скважин λ_э = 0,9.

Для рассматриваемого месторождения известны данные зависимости текущей обводненности продукции v от отношения ^Qн ^{= Q}н ^{/ N}н (^Qн -

накопленная добыча нефти, ^Nн — извлекаемые запасы н фти). Считается, что эта зависимость будет справедливой в течение всего рассматриваемого срока разработки.

Требуется определить в условиях разработки месторождения при упругом режиме в законтурной области пласта:

1) изменение в процессе разработки за 15 ет (по годам) среднего пластового давления в пределах нефтяной залежи;

2) изменение добычи нефти, воды, текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при заданной динамике до ычи жидкости в течение 15 лет.

Решение.

1. Определение запасов нефти и газа, числа скважин и темпа разработки. Геологические з п сы нефти определим объемным методом по формуле

G_н=Shm(1-S_cв)

где S — площадь залежи, равновеликая площади круга с радиусом R( S=πR²=3,14∙2²∙10⁶= 12,56∙10⁶м²).

Тогда запасы нефти

G_н=12,56∙10⁶ ∙10∙0,3(1-0,05) =35,8∙10⁶ м³

или в поверхностных условиях

G_н^{* =}35,8∙10^6ρн/bн= 35,8∙10⁶∙0,85/ 1,2 =25,4 млн. т.

Определим максимальный дебит жидкости, получаемый в конце периода разбуриваиия месторождения.

Имеем

q_max=α₀t^*=0,667∙10⁶∙ 3 =2∙10⁶ м³/год.

Число скважин, которые необходимо пробурить для отбора из месторождения q_max=2∙10⁶ м³/год, определим с учетом коэффициента эксплуатации скважин, указанного в условиях задачи.

Получаем

Вычислим параметр плотности сетки скважин. Имеем

2. Расчет изменения среднего пластового давления во времени.Аппроксимация решения Карслоу и Егера, Ван Эвердингена-Херста, сделанная Ю. П. Желтовым была применена при решении задачи 2.3, в которой рассматривался приток воды из законтурной области пласта к нефтяной залежи круговой формы с постоянным дебитом.

Однако по условию данной задачи в период разбуривания месторождения объемы воды, поступающей из законтурной области, и, следовательно, отбираемой жидкости из пласта — переменные во времени.

Поэтому для расчета давления на контуре нефтяного месторождения P_кон(t) необходимо использовать интеграл Дюамеля, согласно которому

Для дальнейших расчетов удобно ввести в рассмотрение безразмерное время τ в виде

хt

_τ= R ²

В этом случае интеграл Дюамеля запишется следующим образом:

то же самое, ^qж = ^qж ^{( l )}.Имеем

^dq_dt^ж = ^dq_dt^ж - ^d_dt^t = ^dq_dt^ж - _R^x ₂

О сюда

_{a =} ^dqж _- ^x ₌ ^dqж _- ^a 0 ^{R 2 0} dt R ² dt x

t

_J(τ)= ò₀ ^{f ( t - l ) d l}

Следовательно, для расчета давления на контуре P_кон(τ) в период

нарастающего отбора жидкости из месторождения, т.е при 0≤ ^{t £ t *}, необходимо определить интеграл J(τ).

Имеем

J(t) = ò₀ ^t 0,5[1- (1+ (t - l)^-3,81 ]+1,12log[1+ (t - l)] dl

Обозначим

Вычисляя интегралы, получаем

_J1=0,356[1- (1+ t)^-2,81 ]

_{J2 =} (1+ t)log(1+ t) - t

Таким образом, для J (t) имеем выражение _J(τ)=0,5 t - 0,178[1- (1+ t)^-2,81 ]+ 0,4871(1+ t) - t

За среднее пластовое давление в нефтяной залежи приним ем P=0,9Р_кон Окончательно для расчета изменения среднего пластового давления в

нефтенасыщенной части месторождения получаем формулу

D p (t)=0,9[ р - р (t)]= ^{0,1432 m}в^a 0 ^{R 2}

_{0 кон} khx

{0,5 t - 0,178[1- (1+ t)^-2,81 ]+ 0,487[(1+ t)log(1+ t) - t ]}

хt

Эта формула справедлива только при 0≤ ^{t £ t *} (τ= ^{R 2}) Чтобы получить формулу для расчета ^{D р ( t )} для периода постоянной добычи жидкости, т. е. при

τ f τ^*, необходимо из данного выражен я вычесть такое же выражение, но зависящее не от τ, а от разности τ-τ^*.

Таким образом, при τf τ ^*

Рассчитаем изме е ие cреднего пластового давления для некоторых значений време и разработки месторождений.

Определим к эффициент пьезопроводности х. Имеем

При t=1 год=0,31536∙10⁸ с получаем следующее значение без-разм рного времени:

хt ₌1×0,31536×10⁸_=7,884

_τ= R ² 4×10⁶

При этом

_{D р =}^{0,1432 m}в^a 0 ^{R 2}_×

khx

J (7,884)= 0,5∙7,884 —0,178(1 —8,884^-2,81) + 0,487 (8,884 In 8,884 - 7,884)=9,373.

Тогда ^{D р (7,884) =} 0,0768∙9,373 = 0,72 МПа.

Определим изменение среднего пластового давления в нефтяной залежи при τf τ^*. Например, при t = 4 года τ=31,54. Для J (τ) получаем

J (31,54) =0,5∙31,54 – 0,178 + 0,487 (32,54 ln(32,54-31,54))= 55,41;J(τ-τ^*)=J(7,884)=9,373

Тогда

^{D р (4)} = 0,0768∙55,41-0,0768∙9,373 = 3,536 МПа.

В таблице показано изменение среднего пластового давления в нефтяной

залежи ^{D р} в различные моменты времени ее разработки. Из рис. 7 видно, что спустя 15 лет после начала разработки нефтяного месторождения пластовое давление хотя и снизилось примерно на 5 МПа, однако оно еще превышает давление насыщения (р_нас = 9 МПа). Следовательно, разр ботка нефтяной залежи в течение указанного срока происходила при упругом режиме.

Рисунок 7. Графики изменен я параметров в процессе разработки залежи нефти

3. Расчет изменения добычи нефти и воды во времени при заданном отборе жидкости из пл ста.

По условию зад чи задана зависимость текущей обводненности ν продукции, получаемой из залежи, от относительной суммарной добычи нефти

или относительн й выработки извлекаемых запасов нефти ^Qн Если, как указано

в условии задачи, эта зависимость не будет изменяться в процессе разработки нефтяного место ождения, то можно использовать метод расчета показателей разрабо и, аналогичный известному методу — «по характеристикам выт сн ния нефти водой».

Относительная суммарная добыча нефти ^Qн есть частное от деления накопленной к моменту t времени разработки добычи нефти на количество извлекаемых запасов, т. е.

Q_н = ^Qн

N_н

где

Q_н =ò₀ ^t q_н (l)d l

Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением:

где ^qв — дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин; ^qн — дебит нефти.

Из предыдущего равенства имеем

^dQн ^dn = ¹ q (t)(1- n)

dn dt N_{н ж}

Разделим переменные в предыдущем равенстве:

^Qн ^{¢( n )} _{dn =} ¹ _{qж (t) dt}

1- n N_н

Интегрируя обе части полученного уравнения в пределах изменения обводненности до заданного значения и соответствующего времени разработки, получим

Интеграль е соотношение позволяет получить искомую зависимость обводненности т времени разработки. Это можно сделать путем аппроксимации данных на рис. 15 некоторой функцией.

В ачестве аппроксимирующей функции используем выражение, получ нное на основании квадратичной аппроксимации функции Баклея—

Л вер тта:

Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена, например, в [2].

Перепишем, введя обозначение

_{m =} ^mв ¹

m_н a

где а — некоторый постоянный коэффициент, зависящий от свойств коллектора.

^Qн ^{¢( n )=}_{1+ m} ¹_{1- n}

n

Коэффициент а определим по известным величинам и ^Qн ^¢ из выражения Выберем три точки с координатами ν- ^Qн

1) ν1=0,3

2) ν2=0,5

3) ν3=0,8

₄₎ ^Qн ^=0,58

₅₎ ^Qн 2^=0,68

₆₎ ^Qн 3^=0,82

Вычислим коэффициенты:

Формула зависимости суммарной относительной добычи нефти от текущей обводненности для заданных условий имеет вид

Произведем вычисления по полученной зависимости, результаты которых сведем в таблице. По результатам построена кривая. Видно, что расчетная зависимость хорошо описывает исходные данные.

Рассмотрим интеграл в левой части данного соотношения. Представим его как

где

f ¢(x) = Q_н ^¢(x); ^{f (x) =} _1-¹ _x

Таблица Расчётные данные

Используем правило интегрирования но частям. Выполним необходимые вычисления:

df (x)= ^dx

(1- x)²

f (x) = Q_н ^¢(n);

Так как

ò₀ ⁿ f ¢(x) f (x) dx = f ¢(x) f (x)ò₀ ⁿ -ò₀ ⁿ f ¢(x) f (x) dx;

получим

Интеграл в правой части равенства легко приводится к табличному вид у с помощью подстановок: