Алгоритм расчета среднего взвешенного линейного отклонения

1. Принимаем середины интервалов колонки А за варианты признака, определяем их значение х^¢_I и заполняем колонку 2.

2. Находим произведение середин интервалов на их веса x^¢_i*f_i,, заполняем колонку 3 и определяем итог по колонке, который равен значению 666,4.

3. Рассчитываем среднее значение показателя по формуле средней арифметической взвешенной для дискретного вариационного ряда

4. Определяем значение величины изаполняем колонку 4.

5. Рассчитываем произведение f_i, заполняем колонку 5 и находим итог по колонке 470, 324.

6. Окончательно рассчитываем взвешенное среднее линейное отклонение

 

 

 

На практике более удобно использовать показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений. Полученная при этом мера вариации называется дисперсией (s²), а корень квадратный из дисперсии – средним квадратическим отклонением (s).

Дисперсия - средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Рабочие зависимости для расчета дисперсии имеют вид:

а) простая дисперсия

 

, (13)

б) взвешенная дисперсия для интервального вариационного ряда

 

 

. (14)

 

Среднеквадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.

а) простое среднеквадратическое отклонение

 

. (15)

 

б) взвешенное среднеквадратическое отклонение для интервального вариационного ряда

 

. (16)

 

Среднеквадратическое отклонение является более удобной мерой вариации, поскольку выражается в тех же единицах измерения, что и значение признака.

Рассмотрим пример расчета простых дисперсией и среднеквадратического отклонения по исходным данные приведены в таблице 12.

Таблица 12 - Валовой сбор зерна в сельхозхозяйствах условного района.

Хозяйство	Валовой сбор зерновых, ц xi
А
		-100 -120
Итого

Алгоритм расчета

1. Определить среднюю величину по формуле для простой средней арифметической

 

 

 

2. Найти сумму отклонений x_i от , для рассматриваемого примера она равна 44800.

3. Разделить сумму отклонений на число единиц совокупности. Получим дисперсию

s² = 44800/ 6 = 7466,67

4. Извлечь корень квадратный из дисперсии Получим среднеквадратическое отклонение

 

s=Ö7466,67=86,41 ц.

 

Вывод. Степень вариации в рассматриваемой совокупности достаточно мала, так как средняя величина равна 500 ц. Это обстоятельство свидетельствует об однородности рассматриваемой совокупности.

Рассмотрим порядок расчета взвешенного значений дисперсии и среднеквадратического отклонения. Исходные данные приведены в таблице 13.

Таблица 13- Сравнительная характеристика тарифных разрядов сотрудников двух условных министерств.

Министерство №1	Министерство №2
Тарифный разряд xi	Число сотруд- ков, fi чел.				Тарифный разряд xi	Число соруд- ков, fi чел.
		-3 -2 -1					-3 -2 -1
Итого

 

Министерство №1:

= 15; s²₁ = 118\132 =0,89; s₁ = Ö0,89 = 0,94 ~ 1 разряд

Министерство №2:

= 15; s²₁ = 720\170 =4,24; s₁ = Ö4,24 = 2,05 ~ 2 разряда

Вывод. Во втором министерстве наблюдается более высокая колебаемость тарифного разряда.

Дисперсии обладают следующими свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не изменяет величины дисперсии.

Следствием этого свойства является то, что средний квадрат отклонений можно определять не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какой либо постоянной величины.

3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k² раз, а среднеквадратическое отклонение – в k раз:

 

 

Следствием этого свойства является то, что при расчете дисперсии все значения признака можно разделить на какое либо постоянное число (например величину интервала вариационного ряда), определить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число

 

 

Следует помнить! В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений.

· В пределах ⁺_- 1s располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;

· В пределах ⁺_- 2s - 0,954, или 95,4 %;

· В пределах ⁺_- 3s - 0,997, или 99,7 % количества наблюдений.

На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают интервал ⁺_-3s. Отклонение в 3s считается максимально возможным. Это положение называется правилом трех сигм.