Виды дисперсий и правило их сложения.

 

Различают дисперсию общую, внутригрупповую и межгрупповую.

Общая дисперсия (s²) - величина, определяющая вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Зависимости для определения общей дисперсии приведены при изучении второго вопроса данной лекции.

Внутригрупповая (частная) дисперсия (s_i) – дисперсия, вычисленная для каждой группы совокупности, определяющая рассеивание признака в каждой группе. Зависимость для ее расчета имеет вид:

а) невзвешенная

(20)

б) взвешенная для интервального вариационного ряда

 

, (21)

где - частные средние i – х групп;

S_i - означает, суммирование по каждой i –ой группе.

n_i - объемы i – х групп.

 

Средняя из внутригрупповых дисперсий имеет вид

 

., (22)

Межгрупповая дисперсия (δ_х²) – величина определяющая колеблемость частных (групповых) средних () вокруг общей средней (). Зависимость для ее расчета имеет вид

 

, (23)

 

где x_i, n_i - соответственно групповые средние и численности по отдельным группам.

Существует закон, связывающий три вида дисперсий

 

(24)

 

 

Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий.

Основываясь на этом правиле, зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей. Он называется эмпирический коэффициент детерминации (h²):

. (25)

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением

. (26)

Это отношение показывает влияние признака, положенного в основу группировки, на вариацию результативного признака.

h изменяется в пределах от 0 до 1. При 0 - группировочный признак не оказывает влияния на результативный. При 1 - результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основу группировки, а влияние всех прочих признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от близости их к предельным значения.

Рассмотрим пример расчета дисперсий по исходным данным приведенным в таблице 14.

Таблица 14- Производительность труда двух групп рабочих

Производительность труда рабочих (деталей за смену)
Прошедших техническое обучение	Не прошедших техническое обучение
Численность рабочих -5	Численность рабочих - 5

 

Алгоритм расчета.

 

1. Рассчитываем общую и средние арифметические

 

= 475/5 = 95 дет.

= 405/ 5 = 81 дет.

 

= (475 + 405)/10 = 88 дет.

 

2. Рассчитываем общую и среднегрупповые дисперсии по зависимости

 

s²₁ = ((84 – 95)² + (93- 95)² +…+ (102 – 95)²)/5 =42,0.

 

s²₂ = ((62 – 81)² + (68- 81)² +…+ (105 – 81)²)/5 =231,2.

 

s² = ((84 – 88)² + (93- 88)² +…+ (105 – 88)²)/10 =185,6.

 

3. Рассчитываем среднюю из внутригрупповых (частных) дисперсий

 

s²_i = (42,0 + 231,2)\10 = 136,6.

 

4. Рассчитываем межгрупповую дисперсию

 

d² = ((95 – 88)² * 5 + (81 – 88)² *5))/10 = 49,0

 

5. Определяем общую дисперсию

 

s² = 136, 6 + 49,0 = 185,6.

 

6. Рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение

 

h= (49,0 / 185,6))^0,5 = 0,264.

 

Вывод. Фактором технического обучения персонала объясняется 26,4 % вариации производительности труда. Остальные – 73,6 % вариации объясняются неучтенными факторами.