На расширенной аффинной прямой

Проблема

Рассмотрим инварианты геометрий: Отношения между точками прямой

Евклидова геометрия	Равенство расстояний между точками
Аффинная геометрия	Отношение расстояний между тремя точками прямой
Проективная геометрия	?

Повторение

На языке векторов: Задача о делении отрезка в данном отношении.

Точка С делит направленный отрезок

в отношении l, если

()

 

Точка С делит отрезок АВ внутренним образом, если l >0,

внешним образом, если l <0.

При l =1 точка С – середина отрезка АВ.

 

 

Простое отношение точек

На расширенной аффинной прямой

Определение 25

Простым отношением трех точек прямой называют отношение

, (5.1)

где точка С – делящая, точки А и В – основные (базисные).

 

Пусть дана расширенная (собственная с несобственной точкой) прямая l. Точки А и В – фиксированные точки прямой l.

Выберем на ней направление:

положительное АВ, отрицательное ВА.

 

Пусть С – точка прямой, .

1) Рассмотрим

простое отношение для собственных точек прямой:

С¹A, С¹В

С=А (отрезок АА – нулевой)

С=В (отрезок ВВ – нулевой)

т.к. ,

С=С ₀, где С ₀ – середина АВ

т.к.

2) Рассмотрим

простое отношение для несобственной точки прямой:

С=Р_∞

 

т.к. при С ® Р_∞, ВС ® ∞,

 

СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ

ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ

 

Простое отношение точек не является инвариантом центрального проектирования. Покажем это, для этого достаточно одного примера.

 

Пусть дан пучок прямых a, b, c с центром О.

 

Пересечем этот пучок прямых двумя прямыми m, n и

 

отметим точки пересечения.

 

 

Пересечем так, что АО < ВО, А′О > В′О. Пусть ОС – биссектриса треугольника АВС. Тогда ОС′ – биссектриса треугольника А′В′С′

 

 

.

 

Значит, простое отношение не сохраняется.

 

Понятие между точками прямой, которое является инвариантом центрального проектирования и заменяет простое отношение трех точек прямой – сложное отношение четырех точек прямой.

Из материала предыдущих лекций знаем, что на проективной прямой l рассматривают четыре точки – две пары точек AB, CD

Пара точек A и B разделяет пару точек C и D.

Определение 26

Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек прямой называется отношение двух простых отношений трех точек

(5.2)

 

Точки А, В называют базиснойпарой,

точки C, D – делящей парой.

Сложное отношение точек в координатах

 

Пусть на прямой l дан проективный репер . Рассмотрим А, В, С, D Î l

 

Пусть точка D в репере R имеет координаты D (х ₁: х ₂)

Определение 27

Число называется сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек и записывается (АВ, СD), т.е.

. (5.3)

Теорема 4 (о существовании и единственности точки D)

Если А, В, С – различные точки прямой, а l – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что (АВ, СХ)= l

 

Дано: прямая l, точки А, В, С Î l,

l – действительное число,

Доказать: $(!) Х / Х Î l, (АВ, СХ)= l

 

Доказательство.

На прямой l введем репер .

Рассмотрим точку Х (l; 1)

 

1) Существование.

По определению сложного отношения

 

 

Значит, точка Х, удовлетворяющая требованиям существует.

 

2) Единственность.

Предположим противное.

Пусть существует точка Х′ (х ₁; х ₂),

такая, что (АВ, СХ ′)= l.

Тогда по определению

Это означает, что точки Х (l; 1) и Х′ (х ₁; х ₂) имеют пропорциональные координаты и задают на прямой l одну и ту же точку, т.е. Х = Х′

 

Теорема 5 (о координатах точки D)

Если точки А, В, С, D, принадлежащие прямой l, имеют в репере R координаты A(а ₁: а ₂ ), B(b ₁: b ₂ ), C(с ₁: с ₂ ), D(d ₁: d ₂ ), причем точки A, B, C различны и точка D не совпадает с точкой А, то

. (5.4)

 

Дано: произвольный репер R,

прямая l, точки А, В, С, D Î l,

Точки A, B, C различны, D≠А,

A (а ₁: а ₂) _R, B (b ₁: b ₂) _R, C (с ₁: с ₂) _R, D (d ₁: d ₂) _R

 

Доказать:

 

Доказательство.

Рассмотрим репер из данных точек . Запишем матрицу перехода от R к R ₀:

, где – условие согласованности координат.

 

Найдем коэффициенты a, b:

 

, , ,

 

откуда по формулам Крамера

.

 

Запишем формулы преобразования при переходе от R к R ₀:

 

.

 

Так как точка D (d ₁: d ₂) _R, и D (х ₁: х ₂) _{R ′}, тогда формулы будут выглядеть так:

.

Откуда , , ,

 

откуда по формулам Крамера:

 

 

Тогда

 

Таким образом,

 

Теорема 2 позволяет вычислить сложное отношение по координатам точек и, наоборот, координаты точки D (х ₁: х ₂), если известно сложное отношение точек (АВ, СD).

Задача.

Дано: , А (1:0), В (1:1), С (0:1), D (d ₁: d ₂).

Найти: (АВ, СD).

Решение.

По теореме 2

(5.5)

Пример 1. Дано: ,

А (1:0), В (1:1), С (0:1), (АВ, СD)=2

Найти координаты точки D.

Решение.

Так как (АВ, СD)=2, то

.

Откуда D (1:–1) с точностью до пропорциональности.

Свойства сложного отношения (АВ, СD):

1. Двойное отношение обладает свойством симметричности

(АВ, СD)=(ВА, DС)

 

2. Сложное отношение не изменится от перестановки базисной и делящей пар точек

 

(АВ, СD)= (СD, АВ)

 

3. Если D=С, то (АВ, СС)=1

4. Если D=В, то (АВ, СВ)=0

 

5. Если (АВ, СD)<0, то пара АВ разделяет пару СD.

6. Если (АВ, СD)>0, то пара АВ не разделяет пару СD.

7. ,

если (АВ, СD)≠0

 

8. (АВ, СD)=(ВА, DС).

9. (АВ, СD)+(АС, ВD)=1.

 

Понятие разделенности пар точек не зависит от порядка рассматриваемых пар точек.

(Задание: свойства 3,4,7-9 самостоятельно «проверить на определителях»)

Теорема 6

Если А, В, С, D – собственные точки расширенной прямой l, а Р_¥ – ее несобственная точка, то

, (8.1)

(АВ, СР _¥)= – (АВ, DР _¥), (8.2)

где и – простые отношения соотв. точек.

Доказательство

(по определению 2).

 

Можно показать, что это выполняется и по теореме 2.

Выберем репер .

Запишем координаты базисных точек:

Р _∞(1:0), А (0:1), В (1:1).

 

Пусть C (с ₁: с ₂), D (d ₁: d ₂). Пусть

, .

1) Тогда по формуле (7):

 

т.к. .

2) Если А (х ₁: х ₂) – проективные координаты точки и , то А (l) – аффинные координаты .

 

Тогда А (0), В (1), С (с), D (d) – координаты в аффинной системе координат .

 

 

(8.3)

 

,

,

(8.4)

 

Сложное отношение

Четырех прямых пучка

Определение 28

Простым отношением трех прямых пучка называют отношение

,

 

где прямая с – делящая, прямые а и b – основные (базисные).

Определение 29

Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех прямых пучка называется отношение двух простых отношений прямых этого пучка

(8.5)

Точки А, В называют базиснойпарой, точки C, D – делящей парой.

 

(Задание 4: понятие сложного отношения четырех прямых пучка – с.32-34-Ат.)

Определение 30

Если (АВ, СD)= –1, то пара точек А, В гармонически разделяетпару точек С, D или, еще говорят, гармонически сопряжена с парой точек С, D.

(АВ, СD)= –1 (8.6)

 

Свойство гармонически разделенных пар:

 

(АВ, СD)=(ВА, СD)=(АВ, DС)=(СD, АВ)=–1.

Полный четырехвершинник

Определение 31

Фигура, состоящая из четырех точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой (общего положения), и шести прямых, соединяющих попарно эти точки, называется полным четырёхвершинником.

Вершины – A, B, C, D.

Стороны – АВ, ВС, АD, АС, CD, BD.

 

Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными.

 

Стороны АВ и CD – противоположные, ВС и АD – противоположные, АС и ВD – противоположные.

Точки пересечения противоположных сторон

называются диагональными точками

четырёхвершинника.

 

Точки P,Q,R – диагональные.

Прямые PQ, PR, QR – диагонали.

Теорема 8

Следствие 1.

Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.

Две вершины А и В, лежащие на стороне полного четырехвершинника АВ, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки Q и точки N, в которой эта сторона пересекает диагональ РR, проходящую через две другие диагональные точки

(АВ, QN) = –1

 

Следствие 2.

Две противоположные стороны полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих
сторон.

Две противоположные стороны АВ и DC полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали QR и QP, проходящие через точку Q пересечения этих сторон.

 

Определение 32

Пару точек К и М произвольной прямой называют гармонически сопряжённой с парой точек Q и R той же прямой, если Q и R – диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки К и М – точки пересечения этой прямой QR с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника AD и ВС, проходящими через третью диагональную точку Р.

 

По трем точкам

Дано: точки P,Q,М Î l

Построить: точку Х / (PQ,MX)=–1.

Решение.

Строим полный четырехвершинник с диагональными точками P и Q.

Дано:
Строим прямую р Э Р (р≠l)
Отмечаем две вершины – точки А и В
Проводим прямые QA (сторона), QB (сторона), MA
Отмечаем точку С = QB Ç МА
Строим прямую РС
Отмечаем точку D = РС Ç АQ
Четырехвершинник ABCD
Проводим сторону BD   Полный четырехвершинник ABCD
Отмечаем точку X=BD Ç PQ

 

Здесь: точки Р и Q – диагональные точки, точка М – точка пересечения диагонали PQ со стороной, проходящей через третью диагональную точку R:

 

Примечания.

1. Понятие, двойственное полному четырехвершиннику, – полный четырехсторонник – фигура, состоящая из четырех прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку) и шести точек их пересечения.

2. Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.

 

Теорема 9

Пусть даны ABCD и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ – два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q – пересечениями противоположных сторон AB, CD и A ₁ B ₁, C ₁ D ₁; AC, BD и A ₁ C ₁, B ₁ D ₁. Тогда, если стороны BC и B ₁ C ₁ четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то стороны AD и A ₁ D ₁ пересекаются в точке T этой же прямой.

Если пара точек P и Q гармонически сопряжена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S и T гармонически сопряжена с P и Q.

 

Пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной разделенности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии), т.e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P ₁, Q ₁ и S ₁, T ₁.

 

Определение 33

Взаимнооднозначное отображение f множества точек прямой l на множество точек l¢ называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.

 

Теорема 10

Если и – произвольные реперы прямых l и l¢, то существует единственное проективное отображение, который репер R переводит в R¢.

Пусть l и l¢ – прямые, S – точка, не лежащая на них. Каждой точке М Î l поставим в соответствие М ¢Î l ¢, так что М ¢ – проекция М из точки S:

f: М ® М ¢.

Так как l и l¢ пересекаются, то f – взаимнооднозначное, т.е. отображение единственно. При таком отображении сохраняется сложное отношение четырех точек, т.е. f – проективное отображение.

f: l ® l ¢.

 

Определение 34

Отображение f: l ® l¢, М ® М¢ (М Î l, М¢ Î l¢), при котором точки S, М и М¢ коллинеарны, называется перспективным отображением с центром S прямой l на прямую l¢.

Следствие

Если даны две произвольные прямые, то существует бесконечное количество проективных отображений одну из них на другую.

 

http://shedevrs.ru/materiali/254-perspektiva.html

 

Теорема 11

Для того чтобы проективное отображение f: l ® l¢ было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых l и l¢ переходила сама в себя.

 

Теорема 12 (Теорема Паппа)

Пусть A, B, C – точки одной прямой, A', B', C' – точки другой прямой. Пусть прямые АВ', BC', CA' пересекают прямые A'B, B'C, C'A соответственно в точках X, Y, Z. Тогда точки X, Y, Z лежат на одной прямой.

Перспективное отображение – частный случай проективных отображений.

 

Определение 35

Нетождественное преобразование f проективной прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным.

Если инволюция имеет две неподвижные точки, то она называется гиперболической, если не имеет, то – эллиптической.

Домашнее задание: составьте таблицу «Виды проективных преобразований прямой и плоскости»

 

Вид преобразования	Определение
Проективные преобразования прямой
1. Инволюция	Нетождественное преобразование проективной прямой, совпадающее со своим обратным
Гиперболическая	Имеет 2 неподвижные точки
Эллиптическая	Не имеет неподвижных точек
Проективные преобразования плоскости
1. Инволюция
2. Коллинеации
Гомологии
Перспектива (центральное проектирование)

 

Линии второго порядка

На проективной плоскости

Точкой будем называть любую тройку чисел не равных одновременно нулю.

Определение.

Определение 36

Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в репере R удовлетворяют уравнению вида:

 

 

называется коническим сечением или линией второго порядка на проективной плоскости.

 

Ранг квадратичной формы , , называется рангом линии второго порядка.

Линия второго порядка называется невырожденной (вырожденной), если .

 

Любая прямая пересекает невырожденную линию второго порядка не более чем в двух точках.

Понятие линии второго порядка и ее ранга сохраняется при любом проективном плоскости, то есть данные понятия являются проективными.

Проблема

Рассмотрим инварианты геометрий: Отношения между точками прямой

Евклидова геометрия	Равенство расстояний между точками
Аффинная геометрия	Отношение расстояний между тремя точками прямой
Проективная геометрия	?

Повторение

На языке векторов: Задача о делении отрезка в данном отношении.

Точка С делит направленный отрезок

в отношении l, если

()

 

Точка С делит отрезок АВ внутренним образом, если l >0,

внешним образом, если l <0.

При l =1 точка С – середина отрезка АВ.

 

 

Простое отношение точек

на расширенной аффинной прямой

Определение 25

Простым отношением трех точек прямой называют отношение

, (5.1)

где точка С – делящая, точки А и В – основные (базисные).

 

Пусть дана расширенная (собственная с несобственной точкой) прямая l. Точки А и В – фиксированные точки прямой l.

Выберем на ней направление:

положительное АВ, отрицательное ВА.

 

Пусть С – точка прямой, .

1) Рассмотрим

простое отношение для собственных точек прямой:

С¹A, С¹В

С=А (отрезок АА – нулевой)

С=В (отрезок ВВ – нулевой)

т.к. ,

С=С ₀, где С ₀ – середина АВ

т.к.

2) Рассмотрим

простое отношение для несобственной точки прямой:

С=Р_∞

 

т.к. при С ® Р_∞, ВС ® ∞,

 

СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ

ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ

 

Простое отношение точек не является инвариантом центрального проектирования. Покажем это, для этого достаточно одного примера.

 

Пусть дан пучок прямых a, b, c с центром О.

 

Пересечем этот пучок прямых двумя прямыми m, n и

 

отметим точки пересечения.

 

 

Пересечем так, что АО < ВО, А′О > В′О. Пусть ОС – биссектриса треугольника АВС. Тогда ОС′ – биссектриса треугольника А′В′С′

 

 

.

 

Значит, простое отношение не сохраняется.

 

Понятие между точками прямой, которое является инвариантом центрального проектирования и заменяет простое отношение трех точек прямой – сложное отношение четырех точек прямой.

Из материала предыдущих лекций знаем, что на проективной прямой l рассматривают четыре точки – две пары точек AB, CD

Пара точек A и B разделяет пару точек C и D.

Определение 26

Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек прямой называется отношение двух простых отношений трех точек

(5.2)

 

Точки А, В называют базиснойпарой,

точки C, D – делящей парой.