Проективное отображение прямой на прямую

Определение 33

Взаимнооднозначное отображение f множества точек прямой l на множество точек l¢ называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.

 

Теорема 10

Если и – произвольные реперы прямых l и l¢, то существует единственное проективное отображение, который репер R переводит в R¢.

Пусть l и l¢ – прямые, S – точка, не лежащая на них. Каждой точке М Î l поставим в соответствие М ¢Î l ¢, так что М ¢ – проекция М из точки S:

f: М ® М ¢.

Так как l и l¢ пересекаются, то f – взаимнооднозначное, т.е. отображение единственно. При таком отображении сохраняется сложное отношение четырех точек, т.е. f – проективное отображение.

f: l ® l ¢.

 

Определение 34

Отображение f: l ® l¢, М ® М¢ (М Î l, М¢ Î l¢), при котором точки S, М и М¢ коллинеарны, называется перспективным отображением с центром S прямой l на прямую l¢.

Следствие

Если даны две произвольные прямые, то существует бесконечное количество проективных отображений одну из них на другую.

 

http://shedevrs.ru/materiali/254-perspektiva.html

 

Теорема 11

Для того чтобы проективное отображение f: l ® l¢ было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых l и l¢ переходила сама в себя.

 

Теорема 12 (Теорема Паппа)

Пусть A, B, C – точки одной прямой, A', B', C' – точки другой прямой. Пусть прямые АВ', BC', CA' пересекают прямые A'B, B'C, C'A соответственно в точках X, Y, Z. Тогда точки X, Y, Z лежат на одной прямой.

Перспективное отображение – частный случай проективных отображений.

 

Определение 35

Нетождественное преобразование f проективной прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным.

Если инволюция имеет две неподвижные точки, то она называется гиперболической, если не имеет, то – эллиптической.

Домашнее задание: составьте таблицу «Виды проективных преобразований прямой и плоскости»

 

Вид преобразования	Определение
Проективные преобразования прямой
1. Инволюция	Нетождественное преобразование проективной прямой, совпадающее со своим обратным
Гиперболическая	Имеет 2 неподвижные точки
Эллиптическая	Не имеет неподвижных точек
Проективные преобразования плоскости
1. Инволюция
2. Коллинеации
Гомологии
Перспектива (центральное проектирование)

 

Линии второго порядка

На проективной плоскости

Точкой будем называть любую тройку чисел не равных одновременно нулю.

Определение.

Определение 36

Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в репере R удовлетворяют уравнению вида:

 

 

называется коническим сечением или линией второго порядка на проективной плоскости.

 

Ранг квадратичной формы , , называется рангом линии второго порядка.

Линия второго порядка называется невырожденной (вырожденной), если .

 

Любая прямая пересекает невырожденную линию второго порядка не более чем в двух точках.

Понятие линии второго порядка и ее ранга сохраняется при любом проективном плоскости, то есть данные понятия являются проективными.