Сложное отношение точек в координатах

 

Пусть на прямой l дан проективный репер . Рассмотрим А, В, С, D Î l

 

Пусть точка D в репере R имеет координаты D (х ₁: х ₂)

Определение 27

Число называется сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек и записывается (АВ, СD), т.е.

. (5.3)

Теорема 4 (о существовании и единственности точки D)

Если А, В, С – различные точки прямой, а l – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что (АВ, СХ)= l

 

Дано: прямая l, точки А, В, С Î l,

l – действительное число,

Доказать: $(!) Х / Х Î l, (АВ, СХ)= l

 

Доказательство.

На прямой l введем репер .

Рассмотрим точку Х (l; 1)

 

1) Существование.

По определению сложного отношения

 

 

Значит, точка Х, удовлетворяющая требованиям существует.

 

2) Единственность.

Предположим противное.

Пусть существует точка Х′ (х ₁; х ₂),

такая, что (АВ, СХ ′)= l.

Тогда по определению

Это означает, что точки Х (l; 1) и Х′ (х ₁; х ₂) имеют пропорциональные координаты и задают на прямой l одну и ту же точку, т.е. Х = Х′

 

Теорема 5 (о координатах точки D)

Если точки А, В, С, D, принадлежащие прямой l, имеют в репере R координаты A(а ₁: а ₂ ), B(b ₁: b ₂ ), C(с ₁: с ₂ ), D(d ₁: d ₂ ), причем точки A, B, C различны и точка D не совпадает с точкой А, то

. (5.4)

 

Дано: произвольный репер R,

прямая l, точки А, В, С, D Î l,

Точки A, B, C различны, D≠А,

A (а ₁: а ₂) _R, B (b ₁: b ₂) _R, C (с ₁: с ₂) _R, D (d ₁: d ₂) _R

 

Доказать:

 

Доказательство.

Рассмотрим репер из данных точек . Запишем матрицу перехода от R к R ₀:

, где – условие согласованности координат.

 

Найдем коэффициенты a, b:

 

, , ,

 

откуда по формулам Крамера

.

 

Запишем формулы преобразования при переходе от R к R ₀:

 

.

 

Так как точка D (d ₁: d ₂) _R, и D (х ₁: х ₂) _{R ′}, тогда формулы будут выглядеть так:

.

Откуда , , ,

 

откуда по формулам Крамера:

 

 

Тогда

 

Таким образом,

 

Теорема 2 позволяет вычислить сложное отношение по координатам точек и, наоборот, координаты точки D (х ₁: х ₂), если известно сложное отношение точек (АВ, СD).

Задача.

Дано: , А (1:0), В (1:1), С (0:1), D (d ₁: d ₂).

Найти: (АВ, СD).

Решение.

По теореме 2

(5.5)

Пример 1. Дано: ,

А (1:0), В (1:1), С (0:1), (АВ, СD)=2

Найти координаты точки D.

Решение.

Так как (АВ, СD)=2, то

.

Откуда D (1:–1) с точностью до пропорциональности.

Свойства сложного отношения (АВ, СD):

1. Двойное отношение обладает свойством симметричности

(АВ, СD)=(ВА, DС)

 

2. Сложное отношение не изменится от перестановки базисной и делящей пар точек

 

(АВ, СD)= (СD, АВ)

 

3. Если D=С, то (АВ, СС)=1

4. Если D=В, то (АВ, СВ)=0

 

5. Если (АВ, СD)<0, то пара АВ разделяет пару СD.

6. Если (АВ, СD)>0, то пара АВ не разделяет пару СD.

7. ,

если (АВ, СD)≠0

 

8. (АВ, СD)=(ВА, DС).

9. (АВ, СD)+(АС, ВD)=1.

 

Понятие разделенности пар точек не зависит от порядка рассматриваемых пар точек.

(Задание: свойства 3,4,7-9 самостоятельно «проверить на определителях»)

Геометрический смысл сложного отношения точек

Теорема 6

Если А, В, С, D – собственные точки расширенной прямой l, а Р_¥ – ее несобственная точка, то

, (8.1)

(АВ, СР _¥)= – (АВ, DР _¥), (8.2)

где и – простые отношения соотв. точек.

Доказательство

(по определению 2).

 

Можно показать, что это выполняется и по теореме 2.

Выберем репер .

Запишем координаты базисных точек:

Р _∞(1:0), А (0:1), В (1:1).

 

Пусть C (с ₁: с ₂), D (d ₁: d ₂). Пусть

, .

1) Тогда по формуле (7):

 

т.к. .

2) Если А (х ₁: х ₂) – проективные координаты точки и , то А (l) – аффинные координаты .

 

Тогда А (0), В (1), С (с), D (d) – координаты в аффинной системе координат .

 

 

(8.3)

 

,

,

(8.4)

 

Сложное отношение

Четырех прямых пучка

Определение 28

Простым отношением трех прямых пучка называют отношение

,

 

где прямая с – делящая, прямые а и b – основные (базисные).

Определение 29

Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех прямых пучка называется отношение двух простых отношений прямых этого пучка

(8.5)

Точки А, В называют базиснойпарой, точки C, D – делящей парой.

 

(Задание 4: понятие сложного отношения четырех прямых пучка – с.32-34-Ат.)