Гармонически разделенные пары точек

Определение 30

Если (АВ, СD)= –1, то пара точек А, В гармонически разделяетпару точек С, D или, еще говорят, гармонически сопряжена с парой точек С, D.

(АВ, СD)= –1 (8.6)

 

Свойство гармонически разделенных пар:

 

(АВ, СD)=(ВА, СD)=(АВ, DС)=(СD, АВ)=–1.

Полный четырехвершинник

Определение 31

Фигура, состоящая из четырех точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой (общего положения), и шести прямых, соединяющих попарно эти точки, называется полным четырёхвершинником.

Вершины – A, B, C, D.

Стороны – АВ, ВС, АD, АС, CD, BD.

 

Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными.

 

Стороны АВ и CD – противоположные, ВС и АD – противоположные, АС и ВD – противоположные.

Точки пересечения противоположных сторон

называются диагональными точками

четырёхвершинника.

 

Точки P,Q,R – диагональные.

Прямые PQ, PR, QR – диагонали.

Диагональные точки четырехвершинника не лежат на одной прямой.

 

Рассмотрим проективный .

Прямая АС имеет в репере уравнение:

 

или у =0.

Прямая ВD имеет уравнение х=z.

 

Тогда P (1:0:1) ,Q (0:1:1) ,R (1:0:1).

Теорема 8

На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку

 

Например,

На диагонали полного четырехвершинника диагональные точки Q и R гармонически разделяют две точки К и М, в которых эта диагональ пересекает стороны AD и ВС, проходящие через третью диагональную точку Р.

 

(QR, КМ) = –1.

 

Следствие 1.

Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.

Две вершины А и В, лежащие на стороне полного четырехвершинника АВ, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки Q и точки N, в которой эта сторона пересекает диагональ РR, проходящую через две другие диагональные точки

(АВ, QN) = –1

 

Следствие 2.

Две противоположные стороны полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих
сторон.

Две противоположные стороны АВ и DC полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали QR и QP, проходящие через точку Q пересечения этих сторон.

 

Определение 32

Пару точек К и М произвольной прямой называют гармонически сопряжённой с парой точек Q и R той же прямой, если Q и R – диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки К и М – точки пересечения этой прямой QR с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника AD и ВС, проходящими через третью диагональную точку Р.

 

Построение четвертой гармонической

По трем точкам

Дано: точки P,Q,М Î l

Построить: точку Х / (PQ,MX)=–1.

Решение.

Строим полный четырехвершинник с диагональными точками P и Q.

Дано:
Строим прямую р Э Р (р≠l)
Отмечаем две вершины – точки А и В
Проводим прямые QA (сторона), QB (сторона), MA
Отмечаем точку С = QB Ç МА
Строим прямую РС
Отмечаем точку D = РС Ç АQ
Четырехвершинник ABCD
Проводим сторону BD   Полный четырехвершинник ABCD
Отмечаем точку X=BD Ç PQ

 

Здесь: точки Р и Q – диагональные точки, точка М – точка пересечения диагонали PQ со стороной, проходящей через третью диагональную точку R:

 

Примечания.

1. Понятие, двойственное полному четырехвершиннику, – полный четырехсторонник – фигура, состоящая из четырех прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку) и шести точек их пересечения.

2. Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.

 

Теорема 9

Пусть даны ABCD и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ – два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q – пересечениями противоположных сторон AB, CD и A ₁ B ₁, C ₁ D ₁; AC, BD и A ₁ C ₁, B ₁ D ₁. Тогда, если стороны BC и B ₁ C ₁ четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то стороны AD и A ₁ D ₁ пересекаются в точке T этой же прямой.

Если пара точек P и Q гармонически сопряжена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S и T гармонически сопряжена с P и Q.

 

Пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной разделенности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии), т.e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P ₁, Q ₁ и S ₁, T ₁.