Начисление непрерывных процентов.

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения – непрерывно или дискретно, т.е. скачкообразно. Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов, которую мы рассматривали на прошлой лекции.

Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги.

В реальности при непрерывности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменить, то не много изменится и ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится «немного».

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений.

Пусть некоторое явление описывается функцией и точка a принадлежит области определения функции. Разность называется приращением аргумента в точке a, разность – приращением функции в точке a.

Определение 1 Функция непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

.

Например, функция непрерывна в точке и во всех точках её существования. Её график представляет собой сплошную линию (рис.5)

Поскольку непрерывность функции играет важную роль, дадим более полное её определение на языке пределов.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а, и некоторой ее окрестности;

2) односторонние пределы существуют и равны между собой:

;

3) предел функции при х ® а равен значению функции в этой точке, т.е:

.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв. На рис. 6 – 8 показаны функции, имеющие разрыв.

рис.6 рис.7

рис.8

В первом случае непрерывность нарушена в т. с координатами (0,1) – пустая или «выколотая» точка, что говорит о том, что функция в ней не определена. Доопределив эту функцию, т.е. положив дополнительно , мы устраним этот разрыв. Поэтому такие точки называются точками устранимого разрыва.

Во втором случае (рис.7.) в т. х = 2 – функция претерпевает так называемый скачкообразный разрыв». Нарушено второе требование непрерывности: односторонние пределы существуют, но не равны между собой.

В третьем случае (рис.8.) в т. х = 2 функция претерпевает бесконечный разрыв. Оба односторонних предела не существуют. Точки ветвей их графиков уходят в .

Пример 1. Построить график и определить характер

точек разрыва: