С понятиями минимума и максимума функции в точке связаны понятия наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Для того, чтобы найти и , нужно найти точки, где , либо не существует, а также и . Из найденных значений следует выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

Вычислим производную данной функции и точки, где она равна нулю.

, если .

Обе точки принадлежат рассматриваемому интервалу.

I. Найдем и и сравним полученные результаты. откуда

Интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.

Определение 4. График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

Определение 5. График дифференцируемой функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Определение 6. Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 7). Здесь точки и – точки перегиба.

Рис.7

Условие выпуклости, вогнутости графика функции на интервале (а, в).

Пусть функция у = непрерывна вместе со своими производными и на .

1.Если , то график функции будет выпуклым на интервале

2.Если , то график функции будет вогнутым на интервале .

3. Для того, чтобы точка была точкой перегиба, необходимо, чтобы (или не существовала) и достаточно, чтобы меняла свой знак при переходе через .

Эти условия регламентируют все действия для выделения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба.

Пример 3. Определить интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

.

Решение: Область существования этой функции, а также производная 1 порядка были найдены в примере 1: . Найдем производную 2 порядка: .

2. , если , . Единственная точка, подозрительная на перегиб, это точка .

3.Находим знаки с учетом интервалов непрерывности

и делаем выводы.

1. , следовательно, кривая выпукла

2. - кривая вогнута

3 - точка перегиба,

4. - кривая вогнута

5. - кривая вогнута

График этой функции приведен на рис..6.

Асимптоты функции

Определение 7. Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние точки М (х, у), принадлежащей кривой от прямой L стремятся к нулю при неограниченном удалении от начала координат.

Поскольку любая прямая в декартовой системе координат может быть либо параллельна осям координат, либо наклонена под произвольным углом к оси , то и асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными и наклонными (рис.8).

рис. 8.1 рис.8.2 рис 8.3

Вертикальную асимптотуфункция имеет в точках разрыва 2-го рода, где один или оба односторонние предела не существуют, т. е. . Это точки, где знаменатель обращается в нуль или граничные точки области определения функции (рис.8.1).

Уравнение вертикальной асимптоты

х = а (1)

Прямая у = в (рис 8.2), является горизонтальной асимптотой, если выполняются условия:. (2)

Прямая y= kx+ b является наклонной асимптотой, (рис. 8.3), если существует пределы, позволяющие определить значения коэффициентов «k» и «b» по формулам:

(3)

 

Пример 4. Найти асимптоты следующих функций:

1)

Решение. Функция имеет одну точку бесконечного разрыва: , поэтому прямая – вертикальная асимптота.

 

2)

Решение. Функция имеет одну точку разрыва: . В ней знаменатель обращается в нуль и и правосторонний предел равен

Следовательно, прямая т.е. ось , будет левосторонней (располагающейся слева от графика) вертикальной асимптотой.

Кроме того, функция имеет горизонтальную асимптоту у=0, потому что

Для вычисления последнего предела использовали правило Лопиталя, которое используют для раскрытия неопределенностей вида или .

 

(4)

 

График этой функции приведен на рис. 9.

рис. 9.

.

Пример 5. Исследовать функцию согласно данному плану.

1.а) область существования функции исключает точку х = -1, поэтому

б) Рассмотрим односторонние пределы вблизи точки разрыва.

, . следовательно, в т. х = 1 функция претерпевает разрыв 2-ого рода и, следовательно, имеет вертикальную асимптоту.

2.а) Четность проверим по условию. . Следовательно, функция общего вида.

б) Корни функции: , если , т.е. – корень. Т.е. начало координат О является единственной точкой, где график функции пересекает обе оси.

в) Интервалы монотонности и критические точки найдем, используя соответствующие признаки для первой производной. .

, если и , т.е. .

Соответствующие интервалы монотонности

, , ,

На первом интервале функция возрастает, т.к. ,

на втором убывает, т.к. . Следовательно, функция имеет максимум в точке (-2, -4).

На третьем функция убывает, на четвертом функция возрастает, поэтому точка (0,0) является точкой минимума.

3.Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба, используя производную 2 порядка.

.

, точек перегиба нет, т.к. числитель этой дроби отличен от нуля. Поэтому определим знак на интервалах непрерывности. кривая выпукла,

, кривая вогнута.

4. Как показано в п. 1.б) функция имеет вертикальную асимптоту. Её уравнение х = -1 т.к. именно в этой точке функция претерпевает бесконечный разрыв 2-ого рода.

Определим наличие наклонной, для чего.воспользуемся формулами (3) и правилом Лопиталя (4) для вычисления пределов.

,

.

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой при .

Для правильного построения графика функции и асимптоты найдем разность при .

То есть, если , то асимптота располагается выше графика функции, если , то ниже. Строим график

.

6.2.Вопросы для самоконтроля

1. Если в точке максимума функция дифференцируема, то в этой точке её производная обязательно…

1) равна нулю 2) больше нуля

3) меньше нуля 4) равна

 

2. График производной изображен на рисунке 1.

x

y

a

b

c

f′(x)

рис.1

I) Сколько точек экстремума может иметь эта функция?

1) 0. 2) 1 3) 2 4) 3.

II) В какой точке функция f(x) имеет максимум?

1) х=0 2) х = а 3) х = b 4) х = с

III). В какой точке функция f(x) имеет минимум?

1) х = 0 2) х = а 3) х = b 4) х = с

3. Минимальное значение функции на отрезке равно …

а) б) в) 4)

4. График производной изображен на рисунке 1. Тогда функция f(x) может иметь точку перегиба при…

1) х = 0 2) х = а 3) х = b 4) х = с

5. Производная функции имеет вид . Тогда количество точек перегиба графика функции равно …

1) 2) 3) 4)

6. Уравнение горизонтальной асимптоты графика функции имеет вид…

1) 2) 3) 4)

Ответы. 1). 1 вариант ответа 2). I – 2 вариант, II- 3 вариант, III– 2 вариант.

3. 1 вариант 4. 4 вариант 5. 1 вариант 6. 2 вариант

Задания для аудиторных занятий

 

1.Найти интервалы монотонности и экстремумы заданных функций.

1. 2. 3. 2.Найти скорость и ускорение заданных функций в т. х =0

3.Исходя из геометрической характеристики производной первого порядка, определить для данных функций точки, где касательная параллельна оси ОХ.

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функций на заданном отрезке.

1) у 2) 3)

5. Определить количество и вид асимптот, которые имеют данные функции.

1) , 2) ,

3) , 4)

6. Исследовать функции методами дифференциального исчисления. Построить графики.

1. 2. 3.

4. 5.

 

6.4. Контрольное задание № 5

Прибыль с оборота некоторой фирмы за календарный год описан эмпирической формулой у(х) = f(x), где дате 1 января соответствует точка х= 0, и 31 декабря - т. х =12. Найти:

1. Наибольшее и наименьшее значение прибыли в течение года.

2. Абсолютное (в д. ед.) и относительное (в процентах) приращения прибыли за указанный период.

В первой строке указан вид эмпирической зависимости (формула). Во второй строке - варианты и временной период в месяцах. Так, отрезок [0,5]

означает срок с 1 января по 31 мая.

а) ; б) ; в)

а) ; б) ; в)

а) ; б) ; в)

а) ; б) ; в)

 

Решение демонстрационноговарианта

Прибыль с оборота некоторой фирмы за календарный год описан эмпирической формулой

у(х) = 1/3x ³ -11/2 x² +24x +10, где 1 января соответствует точке х= 0, и 31 декабря - т. х =12.

Найти:

1. Наибольшее и наименьшее значение прибыли в течение года.

2. Абсолютное (в д. ед.) и относительное (в процентах) приращения прибыли за указанный период.

Решение. Найдем экстремальные точки:

Решим это квадратное уравнение по формуле

Т.к. ветви параболы у (х) = х² -11х+24 направлены вверх, то меньший корень Х₁ = 3 отделяет интервал ее положительных значений от интервала отрицательных, поэтому точка х₁ = 3 является точкой максимума.

Тогда т. х₂ = 8 будет являться точкой минимума.

Найдем значения исходной функции на концах отрезка и в экстремальных точках:

Полученные данные говорят о том, что наименьшее значение прибыли было на 1 января, а наибольшее – на 31 декабря.

Найдем абсолютное и относительное приращения прибыли за год:

.

 

Первообразная функции

Неопределенный интеграл

 

7.1. Основные понятия и определения.

Пусть дана некоторая функция . По правилу предельного отношения приращений мы находили новую функцию , которую назвали производной, а операцию нахождения производной -дифференцированием.

В физике производная характеризует скорость изменения пути по времени. Если по известной скорости следует определить путь, то приходим к обратной задаче, которая формулируется так:

Дана производная некоторой функции, нужно найти исходную для нее, или первообразную.

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором интервале, если для всех x из этого интервала выполняется равенство:

. (1)

Если F (x) - первообразная для функции f (x), то и функция F (x)+ C, где C – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции f (x), т.к.

Отсюда следует, что если функция f (x) имеет хотя бы одну первообразную, то она будет иметь бесконечно много первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную С. Для того, чтобы определить ее значение в конкретном случае, задают начальные условия - требование, чтобы график первообразной функции проходил через заданную точку М₀(х_0, у₀).

 

Определение 2. Множество всех первообразных для некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом

. (2)

Символ ò называют знаком интеграла, он говорит о том, что мы ищем первообразные для f (x). Поэтому операцию отыскания всех первообразных называют интегрированием. Например, первообразными для функции х² являются функции , что записывается так:

, так как

Из определения неопределенного интеграла следуют два свойства

1. .

2. .

Таблица интегралов элементарных функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

. 14.

 

Эта таблица следует из таблицы производных для элементарных функций. Как и в дифференцировании для вычисления неопределенных интегралов есть аналогичные правила:

1. , - постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла;

 

2. - неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

Правил интегрирования произведения и частного нет.