Эластичность. Задача спроса и предложения

Для исследования различных экономических процессов, а также решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности.

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y(x) к относительному приращению переменной x при :

. (3)

Вспоминая определение производной, получим

. (4)

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при увеличении независимой переменной на 1%.

Отметим, что эластичность можно представить в виде

. (5)

В связи с этим становятся понятными следующие свойства эластичности:

, .

Пример 2. Найти эластичность функций:

а) ,

Решение. а) Поскольку , то по формуле (4) получаем:

.

б) Для степенной функции

.

Как мы видим, эластичность степенной функции есть величина постоянная, равная показателю степени. Это характерное свойство только степенных функций. Поэтому степенные функции довольно часто используются в экономической теории, т.к. все ее параметры имеют четкий экономический смысл.

В случае табличного задания функции определение эластичности не однозначно. Это связано с тем, что в отношении не ясно, что брать в качестве x: первоначальное значение x ₁, конечное значение x ₂ или среднее значение . В зависимости от этого различают:

конечную эластичность

,

среднюю эластичность

,

а также логарифмическую эластичность

.

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при относительно небольших изменениях величин x и y.

Эластичность функций часто применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x (или дохода x) показывает, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при увеличении цены (или дохода) на 1%.

Спрос называется эластичным, если , неэластичным, если , и нейтральным, если .

Пример 3. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млн. руб.) выражается функцией

.

Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи

.

В нашем случае

.

При

,

т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,5%.

Пример 4. Функция спроса и предложения имеют соответственно вид:

, ,

где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и продаваемого в единицу времени, p – цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложения уравновешиваются; б) эластичности спроса и предложения при равновесной цене; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена определяется из условия , т.е.

,

откуда находим и . Последний корень отбрасываем, т.к. цена не может быть отрицательной, и устанавливаем, что равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности спроса и предложения. Вычисляем соответствующие производные:

, ,

и подставляем их в формулу (4):

,

.

Для равновесной цены имеем

, .

Так как полученные значения эластичностей меньше 1, то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цен не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

в) При увеличении цены p на 10% от равновесной цены спрос уменьшится на , следовательно, доход от проданной продукции (цена p умноженная на количество q проданного товара) возрастет в целом на . Несмотря на то, что цена на товар увеличилась и спрос на нее упал, предприятие все равно получает прибыль.

Пример 5. Зависимость между спросом q и ценой p за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается эмпирическим соотношением:

.

Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цен спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при и при ден. ед.?

Решение. Найдем эластичность по формуле (2):

.

Для нахождения p воспользуемся тем, что при нейтральном спросе , т.е.

.

Тогда - точка нейтрального спроса.

Далее, принимая во внимание, что цена и спрос , получим еще одно ограничение на p:

.

Таким образом, область изменения цены p интервал (0; 324). Причем точкой p = 144 эта область делится на две части. Посмотрим модуль эластичности на каждой из них.

1. На интервале возьмем значение p = 100. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является неэластичным: цена на товар растет быстрее, чем уменьшается на нее спрос.

2. На интервале возьмем значение p = 225. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является эластичным: спрос на товар падает быстрее, чем растут на нее цены.

Какие можно дать рекомендации? Если цена единицы продукции составит 100 ден. ед., то спрос будет неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости 225 ден. ед. спрос является неэластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложения о снижении цены, выручка будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.