Экстемум функции двух переменных

.1. Основные понятия и определения.

Мы достаточно подробно обсуждали экстремумы функции одной переменной. Перенесем эти знания на функции двух переменных.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если

для всех точек (х, у), достаточно близких к точке и отличных от нее (рис..1).

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если

для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от нее. (рис. 17.2).

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими.

Иногда точку экстремума и ее характер можно определить из соображений здравого смысла.

Например, функция имеет минимум при и , т.е. в точке М (1,2). Действительно, для любых первое слагаемое будет расти, и для – тоже, поэтому в точке М (1,2) функция имеет минимум, причем

рис. 17.1 Рис. 17.2

Функция имеет максимум в точке (0,0), причем (рис. 17.2).

Кроме того, существуют такие точки, где функция по одной переменной имеет минимум, а по другой переменной – максимум. Их называют точками минимакса (рис. 17.3), или седловыми, точками. Они особенно интересны экономистам, если в качестве определяющих переменных служат затраты Х (ден.ед) и прибыль Y (ден.ед.). Ясно, что нужно искать такие точки, в которых затраты были бы минимальными, а прибыль – максимальной.

Рис. 17.3

Но чаще всего определить экстремальные точки бывает затруднительно, поэтому, как и для функции одной переменной введем необходимый и достаточный признаки, позволяющие определять координаты и характер экстремума, не производя лишних вычислений.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке

М₀(х₀, у₀), то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю. (необходимые условия экстремума).

Такие точки называются критическим.

Для достаточного признака существования экстремума введем дополнительные обозначения:

, , ,

. (17.1)

Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и точка является критической. Тогда в этой точке:

1. имеет максимум;

2. если и имеет минимум;

3. если не имеет экстремума в указанном смысле. Возможен минимакс.

4. если нужны дополнительные исследования.

Оба признака регламентируют порядок действия для отыскания экстремальных точек.

1. Находим частные производные первого порядка и из системы уравнений:

и определяем координаты критических точек.

2. Находим частные производные второго порядка и их значения в критических точках.

3. Составляем определитель по формуле 17.1 и делаем вывод о характере экстремума.

4. Находим значение функции в экстремальной точке.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Согласно плану

1.

2. Решая последнюю систему уравнений, находим координаты критической точки: , причем обе частные производные при переходе через критическую точку меняют свой знак с (-) на (+), т. е. имеют минимум.

3.

Здесь и А= 2>0, следовательно, точка М₀(0,0) является точкой минимума.

4. .

Графиком этой функции является круговой параболоид с точкой минимума (0,0,6). (См. приложение 1)

Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию .

Решение.

1.Найдем критические точки:

Откуда получим две критические точки и .

2. Производные второго порядка: , , .

3. В точке М₁(0,0) , , , .

Следовательно, в этой точке экстремума нет.

В точке , , , .

Следовательно, в этой точке функция имеет минимум, так как . z

4.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Это функция называется гиперболическим параболоидом. (См. приложении 1).

Решение. В соответствии с планом:

1.

2.Эта система имеет единственное решение. Точка является критической точкой, причем при переходе через нее по оси ОХ частная производная меняет знак с (-) на (+), а по оси ОУ с (+) на (-).

3. Т.е. экстремума в указанном смысле нет, но есть минимакс, причем по переменной х функция имеет минимум, а по переменной у – максимум.

4. . Т.М₀(0,0,0) – точка минимакса.

Вопросы для самоконтроля

1. Максимумфункциидвух переменных – это точка М(х₀,у₀), где выполняется условие..

1)

2.Если в точке М₀ (х₀, у₀) имеет минимум, то там выполняются условия:

1)

3. Критические точки функции 2 переменных– это точки, где…

и

4.Точки минимакса функции 2 переменных – это точки, где…

1)по обеим переменным есть максимум, 2) по обеим переменным есть минимум

3) по одной из переменных есть минимум, а по второй – максимум.

5. если для функции 2 переменных в некоторой точке выполняется условие , то в этой точке будет:

1) максимум 2) минимум 3) минимакс 4) надо проводить дополнительные исследования.

Ответы. 1. 2 вариант ответа. 2. 2 вариант 3. 4 вариант 4. 3 вариант 5. 2 вариант.

 

 

12.3 Наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной области D, следует найти значения функции в экстремальных точках и на границах области. Наибольшее и наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции в области D. При отыскании этих значений на границе области следует в уравнение подставить уравнение границы, разрешенное относительно одной переменной и рассматривать вопрос как для функции одной переменной. Покажем это на примере.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области D, заданной системой неравенств , . Сделать чертеж.

Решение. Сделаем чертеж области D. Она ограничена сторонами треугольника АОВ, причем уравнение АВ: , уравнение ОВ: , уравнение АВ: (рис.).

рис.

Дальнейшее решение проведем по плану:

1. Найдем критические точки, в которых частные производные равны нулю:

Приравняем их нулю:

Решив эту систему, получим , . Точка М (8/3, 4/3) принадлежит области D.

2. Определим, будет ли в этой точке экстремум, для чего воспользуемся достаточным условием существования экстремума предыдущего пункта:

,

.

Так как , следовательно, в точке М – min.

.

3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции z на границах области:

а) на границе ОА: , тогда функция , где .

Эта функция монотонно возрастает на данном отрезке, и ее наименьшее и наибольшее значения находятся на концах отрезка в точках А и О. , .

б) на границе ОВ: , поэтому , где . Найдем экстремум и значения функции на концах отрезка в т. О(0,0) и точка В (6,0).

– это точка минимума точке С, т.к. парабола с поднятыми вверх ветками имеет только минимум.

, , .

в) на границе АВ: . Запишем функцию z с учетом уравнения границы:

и .

Найдем только экстремум, так как значения функции в точках А и В были найдены выше.

.

Это тоже точка минимума, назовем ее точкой D. Найдем значение функции в этой точке:

.

г) Запишем и сравним значения функции, во всех экстремальных и граничных точках области:

, , , , , .

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в граничной точке области А и наименьшее – во внутренней точке минимума М.

Таким образом, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области свелось к функции одной переменной, с чем мы уже встречались в теме «Экстремумы функции одной переменной».

Если требуется определить наименьшее и наибольшее значение функции многих переменных, которые связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, то эта задача так и называется задачей на условные экстремумы. Она выходит за рамки рассматриваемого курса. Ее можно найти в рекомендуемой литературе.

Задания для аудиторных занятий

1. Найти экстремумы функций:

1 Z= у² -10 у - 4 х +13

2.Z= 3 х² + 5 у² -18 х +10 у + 28; Z= 4 х² + 5 у² - 8 х +20 у +4;

3.Z= х² - 4 х - 6 у - 10

4.Z = 4 х² + 5 у² + 24 х + 30 у +61

5. Z= 36 х² + 49 у² + 72 х - 196 у -1442

4. Контрольные задания №

Вычислить экстремумы следующих функций.

1. Z= 9 х² - 16 у² + 18 х - 64 у - 71 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9

10 11. 12

13 14 15.

16. 17. 18.

19 20