Т5. (Сумма пред. равна пред. суммы)

Если каждое слагаемое алгебраической суммы ф. имеет пред. при , то и алгеб. сумма имеет пред. при , причём пред. алгеб. суммы равен алгеб. сумме пред. т.е.

.

 

Т6. (Произведение под знаком предела).

Если каждый из сомножителей произведения конечного числа ф. имеет пред. при , то и произв. имеет предел при , причём пред. произв. равен произведению пред. т.е.

.

Т7. (Деление под знаком предела).

Если ф. и имеют предел при , причём , то и их частное имеет предел при , причём предел частного равен частному пределов. т.е.

.

Замечательные пределы функции.

1) Первый замечательный предел.

Предельное значение ф. в точке существует и равно единице. т.е. .

Второй замечательный предел.

Предельное значение ф. при существует и равно e. т.е.

.

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Опр6 (б.м.ф.)

Ф. называется б.м. в т. (при ), если .

Зам.: Если ф. имеет равное предельное значение в т. , то ф. является б.м. в т. .

Опр7 (б.б. справа(слева))

Ф. наз. б.б. в т. справа (слева), если для любой сход. к послед. знач. аргумента , элементы которой больше (меньше) , соотв. послед. значений ф. являетсяб.б. послед определённого знака.

Обозначается так: .

Сравнение б.м.ф.

Пусть и – две заданные на одном и том же мн-ве ф., являющиеся б.м. в т. .

1) Ф. наз. б.м. более высокого порядка, чем (имеет более высокий пор. малости), если пред. знач. ф. в т. равно 0.

2) Ф. и наз. б.м. одного порядка (имеют одинаковый порядок малости), если пред. знач. ф. в т. сущ. и .

3) Ф. и наз. эквивалентными б.м., если пред. знач. ф. в т. равно 1.

Свойства эквивалентных б.м.

1) , и .

2) Если и , то , и

3) Если и , то .

4) Если и и , то и или .

4-е свойство самое важное, т.к. на практике это означает, что предел отношения б.м. не меняется при замене их на эквивалентные б.м.

Непрерывность функции одной и нескольких переменных.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Равномерная непрерывность. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции одной и нескольких переменных.

Пусть т. области задания ф. и – окрестность т. содержит отличные от точки области задания этой ф.

Опр1 (Непр. ф. одной пер.)

Ф. называется непрерывной в т. , если предельное знач. этой ф. в т. и равно частному значению .

Обозначается так: .

Опр2 (Непр. ф. неск. пер.)

Ф. называется непрерывной в т. , если для сход. к послед. знач. аргумента соответствующая послед. значений этой ф. сход. к числу .

Опр3 (Непр. ф. справа (слева)).

Ф. наз. непрерывной справа (слева) в т. , если правое (левое) предельное значение этой ф. в т. и равно частному значению .

Обозначается так:

Справа: или .

Слева: или .

Зам.: Если ф. непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Опр4 (Сложная ф.)

Ф., образованные в результате суперпозиции (т.е. последовательного применения) двух или неск. ф., будем наз. сложными.

Пусть ф. задана на некотором мн-ве , и пусть – множество знач. этой ф.

Предположим, что на указанном мн-ве определена другая ф. . Тогда, на мн-ве задана сложная ф.: где .

Обозначается так: .

Опр5 (Непр. сложной ф.)

Если ф. непр. в т. , а ф. непр. в соотв. т. , то сложная ф. непр. в т. .

Опр6 (огр. сверху (снизу)).

Ф. наз. ограниченной сверху (снизу) на мн-ве , если найдётся такое вещественное число (число ), что для всех значений арг. из мн-ва справедливо нерав.: . При этом число (число ) называется верхней (нижней) гранью ф. на мн-ве .