Точечное оценивание параметров распределений.

Выборочный метод. Понятие оценки. Несмещённость, эффективность и состоятельность оценки. Методы нахождения оценок. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке: оценка доли, математического ожидания(среднего), дисперсии.

Генеральная совокупность - множество всевозможных значений, рассматриваемого явления или события ли параметра этого явления.

Выборочная совокупность или выборка - совокупность случайно отобранных значений из генеральной совокупности.

Любой значение из выборки называется вариантом.

Виды выборки:

1. бесповторная (элементы не возвращают в генеральную совокупность)

2. повторная (элементы возвращают в генеральную совокупность перед следующим отбором)

Способы отбора элементов в выборку:

1. не требующий дополнительного расчленения генеральной совокупности на группы:

a. простая бесповторная случайная выборка

b. простая повторная случайная выборка.

2. требующий дополнительного расчленения генеральной совокупности на группы:

a) механический отбор (из генеральной совокупности в зависимости от того, какую долю ω (относительная частота ω= ) должна составлять выборка, в нее отбирают каждую деталь из генеральной совокупности)

b) типический (генеральную совокупность разбивают на группы по исследуемому признаку)

c) серийный отбор (из генеральной совокупности последовательно выбирают n элементов (серия) и исследуются на наличие определенных признаков.

d) Ранжированный ряд- ряд значений вариантов. записанных по возрастанию/убыванию.

e) Накопленная частота - количество вариантов, которые приняли значения меньше заданного х, в некоторых случаях берется строго >, а иногда ≥.

Относительная частота - отношение накопленной частоты к объему выборки, то есть

Пусть θ - параметр генеральной совокупности.

Оценка параметра θ: - это функция от значений вариантов выборки объема n.

То есть будет являться функцией от случайных величин, которые принимают определенные значения при каждой выборке объема n.

Требования к статистическим оценкам:

1. несмещенность - оценка не смещенная, если ее мат ожидание равно самой оценке. Выполнение данного параметра гарантирует отсутствие системных ошибок в измерениях.

2. эффективность - оценка эффективная, если она имеет наименьшую дисперсию. В некоторых случаях невозможно использовать эффективную оценку, тогда используют оценку близкую к эффективной: чем ближе значение е к 1, тем ближе рассматриваемое значение оценки к эффективной оценке.

3. Состоятельность (используют в больших выборках n->∞) - при оценка должна сходиться по вероятности к параметру θ. То есть

 

Теорема: Если оценка θ не смещенная и эффективная, то она является состоятельной.

Оценки параметров генеральной совокупности:

1. оценка вероятности/генеральной доли:

то есть отношение благополучных исходов к общему количеству. В качестве оценки:

X_i-значение, соответствующее появлению или не появлению признака.

q=1-p; p=

M(X_i )= p

D(X_i )= pq

 

2. Матем. ожидание/генеральная средняя:

В качестве оценки используем: .

Проверим требования к оценкам (повторная выборка):

a) несмещенность: докажем, что

{так как имеют то же распределение. что и случайная величина х в генеральной совокупности }

b) эффективность: . Так как

c) состоятельность: так как оценка является несмещенной и эффективной. то она является состоятельной (по теореме).