Физические приложения тройных интегралов.

1) Масса и статические моменты тела.

Пусть тело занимает объем и его объемная плотность в точке задана функцией . Тогда масса тела вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей , , :

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

2) Моменты инерции тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей , , :

Моменты инерции тела относительно координатных осей , , :

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл:

3) Тензор инерции.

Матрица инерции или тензор инерции тела:

4) Гравитационный потенциал и сила тяготения.

Ньютоновым потенциалом тела в точке называется интеграл:

где – плотность тела.

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы и заданного распределенного тела с плотностью по формуле:

где – гравитационная постоянная. .

 

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их вычисление и приложения. Формула Остроградского-Гаусса, Грина, Стокса

Криволинейные интегралы 1–го рода.

Определение.

Пусть кривая описывается векторной ф. , причём , где переменная – длина дуги кривой (Рис.1).

Если на кривой определена скалярная функция , то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной ф. вдоль кривой и обозначается:

Криволинейный интеграл , если ф. непрерывна на кривой .

 

 

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1) Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2) Пусть кривая начинается в т. и заканчивается в т. , а кривая начинается в т. и заканчивается в т. (Рис. 2). Тогда их объединением будет кривая , которая проходит от к вдоль кривой и затем от к вдоль кривой . Тогда справедливо соотношение:

3) Если гладкая кривая задана параметрически соотношением , причём и скалярная ф. непрерывна на кривой , то:

4) Если гладкая кривая в плоскости определена ур. , причём , то:

5) Если гладкая кривая в плоскости определена ур. , причём , то:

6) В полярных координатах интеграл выражается формулой:

где задана в полярных координатах ф. , причём .

 

Криволинейные интегралы 2–го рода.

Определение.

Пусть кривая описывается векторной ф. , причём , где переменная – длина дуги кривой. Тогда производная векторной ф.: представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (Рис 1.)

 

В приведенной выше формуле , и – углы между касательной и положительными направлениями осей , и , соответственно.

Введем векторную функцию , определенную на кривой , так, чтобы для скалярной функции: существовал криволинейный интеграл: . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции

вдоль кривой C и обозначается как: . Таким образом:

в векторной форме:

где .

 

Свойства криволинейного интеграла второго рода:

1) Пусть обозначает кривую с началом в точке и конечной точкой . Обозначим через

кривую противоположного направления от к . Тогда:

2) Если объединение кривых и , то:

3) Если кривая задана параметрически в виде: , , то: