Линейные пространства. k-мерные плоскости.

Гиперплоскости и прямые. Взаимное расположение k-мерных плоскостей.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x (x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α· x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β · x) = (α·β) · x − умножнение на число ассоциативно:;

1 · x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α· x + α· y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β )· x = α· x + β · x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Гиперплоскости и прямые.

Гиперплоскость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением ), для трёхмерного — плоскость и т. д.

Пусть задано аффинное или евклидово пространство размерности n. К-мерной плоскостью наз-ся плоскость размерности к, т.е. она задается некоторой фиксированной начальной точкой и направляющим подпространством, т.е. к-линейно независимых векторов. . Плоскость размерности 1 – прямая. Плоскость размерности (n-1)-гиперплоскость.

Способы задания К-мерных плоскостей: 1. . 2. - k+1 – точкой. 3. в евклидовом пространстве может быть задана точкой и ортогональным дополнением направляющего подпространства, .

Уравнения К-мерных плоскостей:

1. Параметрическое. Пусть , задан базис и начальная точка О. М₀ будет задаваться координатами своего радиус-вектора . . Возьмем произвольную тHÎ , , тогда . В координатной форме .

2. Общее уравнение к-мерной плоскости: 1 способ - для аффинного или евклидового пространства точечных пространств общее уравнение может быть получено из параметрических след образом: из к-параметрических ур-й выражаем пар-ры ; полученные выражения подставляем в оставшиеся (n-k)-уравнений. 2 способ – в евклидовом точеченом пространстве к-мерная плоскость задана . , ,…, . Для любой точки М: . -нормальный вектор.

Уравнения гиперплоскостей:

1. Параметрическое. , .

2. Общее уравнение: , .

3. , .

Взаимное расположение k-мерных плоскостей.

К-мерные плоскости пересекаются. . a)

2. Параллельны: . a)

3. . a)

4. скрещиваются (две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными), .

Взаимное расположение гиперплоскостей: пусть заданы , .

1. отношения их соответствующих коэф-ов не пропорциональны, .

2.

.