Дифференциальное уравнение линии балки (изогнутой оси)

 

В инженерной практике помимо расчета прочности проводятся расчеты на жесткость.

Деформация характеризуется прогибом и углом поворота сечения

 

 

Искаженная картинка деформации при плоском изгибе

 

θ – Угол поворота сечения

y = OO’ – прогиб

 

y_max = AA’

θ_max = φ

При изгибе ось балки не меняет своей длины, все расчеты ведутся в область упругой деформации, сечение остается плоским

 

Прогибом называется линейное перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки.

 

Угол поворота сечения – это угловое перемещение, на котором поворачивается сечение по отношению к своему начальному положению.

 

 

 

l – Длина пролета (расстояние между двумя соседними балками)

y = f(z)

 

 

 

 

 

 

 

Условимся OY всегда направлять вверх, а знак момента ставить правилу сжатого волокна

 

 

Изогнутая ось балки, получаемая в результате плоского изгиба, описываемая уравнением четвертого порядка.

Полные дифференциальные зависимости при изгибе.

 

Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки.

 

Для получения дифференциального уравнения изогнутой оси уравнения прогибов и уравнения для поворота сечения необходимо провести интегрированные уравнения

 

C, D – постоянные интегрирования.

Граничные условия записываются по условию закрепления.

Для консольных балке в заделке y=0, θ=0;

Для балок в опорах y=0

Если балка имеет более одного участка нагружения, то при интегрировании на каждом из них возникает 2 постоянные (C,D), которых находят из граничных условий и условий сопряженных соседних участках.

 

Пример 1.

 

 

 

 

 

 

Max прогиб возникает в точке приложения силы и обозначения f, данный метод имеет ограниченное применение из-за неудобства нахождения const, если в балке более одного участка нагружения. На каждом участке свои const C и D.

 

Помимо граничных условий требуется записывать условие сопряжения по соседним участкам.

Пример 2

 

 

 

 

 

Метод начальных параметров.

 

а) M₁; M₂;… M_n

При принятом порядке интегрирования, при условии, что все координаты отсчитываются от общего начало координат, const C и D будут на всех участках одинаковы и могут быть заменены через увеличенные в EI_x раз прогиб y₀ и угол поворота θ₀ в начале координат.

y₀,θ₀ - начальные параметры представляют собой перемещения в начальных координатах.

а) тогда общее уравнение упругой линии балки выглядит так:

б) уравнение погиба

Потенциальная энергия упругой деформации стержня в общемм случае нагружения.

 

 

 

 

 

- безразмерные величины, характеризует сечение (геометрию сечения).

А) прямоугольное сечение: ;

Б) сплошное круглое сечение: ;

В) для тонкостенного круглого профиля (труба): .

 

 

 

Формула справедлива, когда жесткость стержней постоянна.