Тема: Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

Цели работы: получить представление о пределах, их свойствах, замечательных пределах, теореме Лопиталя и научиться вычислять пределы, раскрывать различные виды неопределенностей.

Краткое изложение темы.

Число А называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при . Это записывают так: .

Свойства пределов:

Если существуют и , то

1) ,

2) ,

3) (при ).

Используются также следующие пределы:

(первый замечательный предел);

(второй замечательный предел).

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и . Если или , т. е. частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то

,

если предел в правой части этого равенства существует.

Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т. д.

В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти предел .

Решение:

Ответ:

 

Пример 2. Найти предел .

Решение:

Имеем неопределенность вида .

.

Ответ:

 

Пример 3. Найти предел .

Решение:

Имеем неопределенность вида .

Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму .

Ответ: .

 

Пример 4. Найти предел .

Решение:

Это – неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , т.е. на :

.

Ответ: .

 

Пример 5. Найти предел .

Решение:

Используя первый замечательный предел, имеем

.

Ответ: .

 

Пример 6. Найти предел .

Решение:

Имеем .

Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв .

Ответ: .

 

Пример 7. Найти предел .

Решение:

Здесь имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на :

Ответ:

 

Пример 8. Найти предел .

Решение:

Делением числителя на знаменатель выделим целую часть:

.

Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

Так как при , то .

Учитывая, что , находим .

Ответ:

 

Пример 9. Найти .

Решение:

Это – неопределенность вида . Имеем

,

так как . Здесь правило Лопиталя применено дважды.

Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант № 1.

Вычислите пределы:

	.
	.
Дополнительные задания:

 

Вариант № 2.

Вычислите пределы:

Дополнительные задания:

Практическая работа № 3.

Тема: Дифференцирование функций.

Цели работы: закрепить умение находить производные по основным правилам дифференцирования, научиться дифференцировать сложные и неявные функции.

 

Краткое изложение темы.