Тема: Действия над комплексными числами.

Цели работы: научиться производить математические операции над комплексными числами.

Краткое изложение темы.

Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1) два комплексных числа и называются равными, если и ,

2) суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ,

3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Запись называется алгебраической формой записи комплексного числа, где - действительная часть, - мнимая часть комплексного числа.

Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: .

Числа и называются комплексно-сопряженными.

Числа и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число .

Аргументом комплексного числа называется угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Записывается так: или .

Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства:

,

.

Действия над комплексными числами и , заданными в алгебраической форме:

сложение: ,

вычитание: ,

умножение: ,

деление: .

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

умножение:

,

деление:

,

возведение в -ю степень:

- формула Муавра,

извлечение корня -ой степени

,

где - арифметический корень, .

 

Показательная функция с комплексным показателем

.

В частности, при получается соотношение

- формула Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями.

Показательная функция имеет период, равный , т.е. .

Показательная форма записи комплексного числа .

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме:

умножение:

,

деление:

,

возведение в -ю степень:

,

извлечение корня -ой степени

,

где - арифметический корень, .

 

формулы Эйлера.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти модуль и главное значение аргумента числа .

Решение:

1. Выполним деление:

2. Найдем модуль данного числа:

.

3. Найдем главное значение аргумента:

Ответ: , , .

 

Пример 2. Представить в тригонометрической форме число: .

Решение:

Найдем модуль числа: .

Найдем главное значение аргумента:

Значит,

или

Ответ:

 

Пример 3. Возвести в степень .

Решение:

Представим данное число в тригонометрической форме.

Итак, .

По формуле Муавра получим

Ответ:

 

Пример 4. Извлечь корни из комплексного числа .

Решение:

Представим число 1 в тригонометрической форме: .

По формуле находим

если , то ,

если , то ,

если , то .

Ответ: , то , , то , , то .

 

Пример 5. Решите уравнение .

Решение:

Введем подстановку , тогда

Вычислим дискриминант .

Найдем корни уравнения , .

Тогда

или

Ответ: , , , .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найдите модуль и аргумент числа .

2. Выполните действия: .

3. Возведите в степень по формуле Муавра .

4. Извлеките корень .

5. Решите уравнение .

 

Вариант 2.

1. Найдите модуль и аргумент числа .

2. Выполните действия: .

3. Возведите в степень по формуле Муавра .

4. Извлеките корень .

5. Решите уравнение .

 

Практическая работа № 9.