Тема: Дифференциальные уравнения второго порядка.

Цели работы: научиться находить общее и частное решения дифференциальных уравнений второго порядка.

 

Краткое изложение темы.

Уравнение, содержащее производные не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где и - постоянные величины.

Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. Записать дифференциальное уравнение в виде .
2. Составить его характеристическое уравнение: (если обозначить через , - через , - через 1).
3. Вычислить дискриминант ; при этом если:

а) , то характеристическое уравнение имеет два разных корня и .

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

,

где и - произвольные постоянные.

б) , то при этом характеристическое уравнение имеет два равных корня = .

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

,

где и - произвольные постоянные.

в) , то при этом характеристическое уравнение имеет комплексные корни и .

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

,

где и - произвольные постоянные.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

.

Найдем корни данного уравнения:

.

,

.

Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения запишется так:

.

Ответ: .

 

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

.

Найдем его корни:

.

,

.

Здесь , .

Так как характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, то общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

.

Ответ:

 

Пример 3. Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение:

Составим характеристическое уравнение

Найдем его корни

Так как корни действительные и равны, то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

Продифференцируем общее решение

.

Подставив начальные данные в выражения для и , получим систему уравнений

,

откуда и .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Ответ:

 

Пример 4. Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение:

Составим характеристическое уравнение

Найдем его корни

Так как корни комплексно-сопряженные, то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

.

Продифференцируем общее решение

.

Подставив начальные данные в выражения для и , получим систему уравнений

,

откуда и .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Решите уравнение: .

2. Решите уравнение: .

3. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

4. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

 

Вариант 2.

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Найти частные решения дифференциальных уравнений: , если

4. Найти частные решения дифференциальных уравнений: , если

Практическая работа № 6.