Дифференцирование явных функций.

Производной от функции по аргументу называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или

(производная обозначается также ).

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , т.е. .

Производная есть скорость изменения функции в точке .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных функций.

1)		6)		11)
2)		7)		12)
3)		8)		13)
4)		9)
5)		10)

 

Основные правила дифференцирования

Пусть С – постоянная, , , имеющие производные. Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Дифференцирование сложной функции.

Если , , т.е. , где функции и имеют производные, то

(правило дифференцирования сложной функции)

 

Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции для всех значений и , при которых множитель при в уравнении не обращается в нуль.

 

Примеры выполнения заданий.

Дифференцирование явных функций.

Пример 1. .

Решение:

.

Ответ:

Пример 2. .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

.

Ответ: .

Дифференцирование сложной функции.

Пример 4. .

Решение:

Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем

.

Ответ: .

Пример 5. .

Решение:

Ответ: .

Пример 6. .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. .

Решение:

Перепишем функцию в другой вид .

Тогда ,

получим

.

Ответ: .

Пример 8. .

Решение:

Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим , . Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как у является функцией от х, то есть сложная функция х и . Следовательно,

,

, т.е.

.

Ответ:

 

Дифференцирование неявных функций.

Пример 9. Найти производную из уравнения .

Решение:

Так как у является функцией от х, то будем рассматривать у² как сложную функцию от х. Следовательно, .

Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим , т.е. .

Ответ: .

Пример 10. Найти производную из уравнения .

Решение:

Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем

т.е. .

Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант № 1.

Найти производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Найти производную от неявных функций:

8. .

9. .

10. .

 

Вариант № 2.

Найти производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Найти производную от неявных функций:

8. .

9. .

10. .

 

Практическая работа № 4.

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Цели работы: познакомиться с понятием дифференциального уравнения, научиться находить общее и частное решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Краткое изложение темы.

Уравнение вида

,

связывающее аргумент , неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

где — неизвестная функция; — независимая переменная.

Общее решение уравнений имеет вид .

Частным решением называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства

.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,

где и - функции от х.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от х.

 

Примеры выполнения заданий.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение:

1) Разделим переменные

, тогда

2) Интегрируем обе части полученного уравнения:

;

.

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С написали .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Ответ: .

 

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение:

1) Разделим переменные

2) Интегрируем обе части полученного уравнения:

- это общее решение данного уравнения.

3) Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения и в выражение для общего решения:

,

,

.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Ответ: .

 

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение:

Это линейное уравнение: здесь , .

Положим и продифференцируем это равенство по х:

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

. (*)

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения .

Разделим в этом уравнении переменные:

Интегрируем обе части уравнения:

,

,

(произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений)

,

.

Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение

.

Разделим переменные

Интегрируем обе части уравнения

Отсюда находим

Зная и , теперь получаем общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

 

Пример 4. Найти частное решение уравнения , если при .

Решение:

Разделив все члены данного уравнения на , получим уравнение

, которое является линейным.

Положим ; тогда .

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

. (*)

Для отыскания получаем уравнение

,

Разделим переменные:

Интегрируем обе части уравнения:

,

,

.

Подставляя выражение для в уравнение (*), имеем

,

Разделяем переменные

,

,

Интегрируем обе части уравнения

,

.

Общее решение данного уравнения:

.

Используя начальные условия , , имеем , откуда .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.

Ответ: .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найдите общее решение уравнения .

2. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .

3. Найдите общее решение уравнения .

4. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .

Вариант 2.

1. Найдите общее решение уравнения .

2. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .

3. Найдите общее решение уравнения . (Приведите уравнение к общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка).

4. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при .

Практическая работа № 5.