Типовые законы распределения

Для изучения основных законов распределения вероятностей введем понятие индикатора случайного события А – это дискретная случайная величина X, которая равна 1 при осуществлении события А и 0 при осуществлении :

Ряд распределения вероятностей индикатора случайного события:

 

xi	0	1
pi	q	p

где p – вероятность осуществления А;

q = 1 – p – вероятность осуществления :.

Числовые характеристики индикатора случайного события: m_x = p, D_x = qp.

 

Геометрическое распределение

имеет дискретная случайная величина Х, если она принимает значения 0, 1, …, ¥ с вероятностями: p(X =_ i) =_ p_i = q p,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤1), q= 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения: m_x = q p; D_x =q/ p².

Условия возникновения. Проводится ряд одинаковых независимых опытов до первого появления некоторого события А. Случайная величина Х – число проведенных безуспешных опытов до первого появления события А.

Биномиальное распределение

имеет дискретная случайная величина X, если она принимает значения 0, 1, …, n со следующими вероятностями p(X =_ i) =_ p_i = pⁱ q ^{n - I},

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики биномиального распределения: m_x = np; D_x = nqp.

Условия возникновения. Проводится n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Случайная величина Х – число опытов, в которых произошло событие А.

Распределение Пуассона

имеет дискретная случайная величина Х, если она принимает значения 0, 1, …, ¥ со следующими вероятностями: p(X =_ i) =_ p_i =  e^{– a},

где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской случайной величины: m_x = a, D_x=a.

Условия возникновения:

1. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального, когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность p события A в одном опыте стремится к 0, так что существует предел = a.

2. Случайная величина Х – число событий пуассоновского

потока, поступивших в течение интервала t, причем параметр а = τλ,

где λ – интенсивность потока.

Последовательность (во времени) моментов возникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложном техническом устройстве, заявки на обслуживание и т.п.) называется потоком случайныхсобытий.

Поток случайных событий называется стационарным, если число событий, приходящихся на интервал t, в общем случае не зависит от расположения этого участка на временной оси и определяется только его длительностью, т.е. среднее число событий в единице времени λ(интенсивность потока) постоянно.

Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания в некоторый участокD t двух и более случайных событий значительно меньше, чем вероятность попадания 1-го события.

В потоке отсутствует последействие, если вероятность попадания событий на участок t  не зависит от того, сколько событий попало на другие участки, не пересекающиеся с данным.

Поток случайных событий называется пуассоновским или простейшим, если он является стационарным, ординарным и без последействия.

Равномерное распределение

f(x)

имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность вероятности в некотором интервале [ а; b ] постоянна, т.е. если все значения X в этом интервале равновероятны: …

 

 

         0, x < a

f(x) =  , a £ x £ b

          0, x > b

Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины:

m_x = (a + b)/2;  D_x= (b – a)²/12

При необходимости определения параметров a и b по известным m_x, D_x используют следующие формулы: a = m_x – s _x , b = m_x + s _x .

Условия возникновения:

1. Случайная величина Х – ошибки округления при ограниченной разрядной сетке:

– округление до меньшего целого, X [–1; 0], m_x = – 0,5;

– округление до большего целого, X [–0; 1], m_x = 0,5;

– округление до ближайшего целого, X [– 0,5; 0,5], m_x = 0, где 1 – вес младшего разряда.

2. Случайная величина Х – погрешность считывания значений с аналоговой шкалы измерительного прибора, X [– 0,5; 0,5], m_x = 0, где 1– цена деления шкалы.

3. Генераторы псевдослучайных величин, например RANDOM, встроенные в языки программирования высокого уровня.