Доверительные интервалы и доверительная вероятность

По точечным оценкам имеют нельзя судить о точности полученных оценок. В отличие от точечной оценки, интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оцениваемого параметра.

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Пусть для генерального параметра a получена из опыта несмещенная оценка a*. Нужно оценить возможную при этом ошибку. Назначим достаточно большую вероятность β – такую, что событие с этой вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε для которого

p (| a * − a |≤ ε) = β

При этом диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а*, будет ±ε, большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью α= 1 − β, называемой уровнем значимости или риском.

Истинное значение параметра а лежит в пределах a * −ε ≤ a ≤ a * +ε

Вероятность β называется доверительной вероятностью, доверительным уровнем или надежностью, т.к. она характеризует надежность полученной оценки.

Интервал I _β = a * ± ε называется доверительным интервалом. Чем больше величина β, тем больше и ширина интервала 2 ε.

Границы интервала a ′ = a * − ε и a ′′ = a * + ε – доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки параметра.

((На практике)) здесь величина а не случайная, то удобно считать, ((что случайный интервал I _β накроет величину а с некоторой вероятностью ((β)).

Обычно на практике фиксируется на определенном уровне значение доверительной вероятности (0.9, 0.95, 0.99, 0.999).

p (| a * − a |≤ ε) =  = β, таким образом, если известен закон распределения оценки a*, то задача определения доверительного интервала решается довольно просто.

Класс точности прибора – это выраженная в процентах относительная предельная погрешность измерения величины, равной пределу измерения прибора. В измерительной технике в большинстве отраслей промышленности под предельной погрешностью понимается величина, равная двум среднеквадратическим отклонениям.

(ПРИМЕР: класс точности прибора K=abs(a_max –a*)/a_max = 0.01 (1%) манометр с максимальным значением давления по шкале 100 кгс/см², абсолютная погрешность прибора Δa=abs(a – a*) = 100*0.01=1ат Δ a = 2 σ_х, следовательно, σ _х =0,5 ат).

Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально можно показать, что также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m_x и средним квадратическим отклонением  =  . Тогда

P (|   | £ e) = b = 2Ф( ). Задавшись доверительной вероятностью, опредлим по таблице значение функции Лапласа k _β = ε_β / . Доверительный интервал для математического ожидания будет иметь вид

                                              k _β   £       k _β

Чтобы уменьшить возможную ошибку в два раза надо увеличить число наблюдений в 4 раза.

Если закон распределения оценки не известен, то в математической статистике применяют обычно два метода:

1) приближенный – при n более 50 заменяют неизвестные параметры их оценками;

2) от случайной величины a* переходят к другой случайной величине, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит только от объема выборки n и от вида распределения величины Х. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального закона. В качестве доверительных границ берут симметричные квантили  £ a £

Если выразить через р, то  £ a £ .

На практике, как правило, число измерений конечно и не превышает 10…30. Для построения доверительного интервала математического ожидания используют выборочную дисперсию  и приведенную случайную величину:

t =  , где t – случайная величина, имеющая распределение, отличное от нормального, зависящее от числа степеней свободы (t – распределение

или распределение Стьюдента). И, по аналогии, получаем построение доверительного интервала

                                              t _{a , m}   £       t _{a , m}