Проверка однородности нескольких дисперсий

Пусть среди выборочных дисперсий ,  …  обнаружена такая , которая значительно больше всех остальных. Можно ли считать отличие выделенной дисперсии  существенными. Альтернативная гипотеза может быть выбрана как H ₁: > .

При равном объеме выборок n ₁ =   n ₂ = … = n_k = n для всех k выборок может быть использован критерий Кохрена. Статистика критерия Кохрена G

                    G =

При    G < G _{a , m , k} нулевая гипотеза принимается, т.е. отличие выделенной

дисперсии считается несущественной. Здесь число степеней свободы m = n -1

В случае подтверждения однородности дисперсий можно сделать оценку обобщенной дисперсии:  =

Если же число измерений в различных сериях неодинаково, то для проверки однородности дисперсий обычно выбирается критерий Бартлета.

Введем обозначения для общего числа степеней свободы: f = 

и средневзвешенной дисперсии:  =  =

Бартлет показал, что в условиях нулевой гипотезы отношение  , где

B = 2,303 f lg() –  и C = 1 + [  – ] распределено приближенно как c ² с n – 1 степенями свободы, если все > 2.

Гипотеза равенства генеральной дисперсии принимается, если £

при выбранном уровне значимости a.

В этом случае различие между выборочными дисперсиями можно считать незначимым, а сами выборочные дисперсии однородными.

Так как C > 1, если B £  , то нулевую гипотезу следует принять. Если B > , то критерий Бартлета вычисляют полностью.

Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий

Первый случай: сравнения неизвестного математического ожидания М ₁, для которого получена оценка через выборочное среднее с конкретным числовым значением М (например, с известным математическим ожиданием). Случай сравнения с нормой например при проверке свойств материала.

В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что оцененное математическое ожидание М ₁ равно известному математическому ожиданию М (H ₀: М ₁ = M). В качестве альтернативной примем H ₁: М ₁ ¹ M.

Если генеральная дисперсия s² неизвестна и для нее сделана оценка S ², то используется t -критерий (распределения Стьюдента).

t -статистика имеет вид: t = .

Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что М ₁ = M, при выполнении неравенства: | t | £ t _{a , m}, где m = n – 1.

Второй случай: сравниваются два неизвестных математических ожидания М ₁ и M _2. Прежде всего необходимо убедиться, что исследуемые выборки независимы между собой. После чего, для двух нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными параметрами М ₁,  и М ₂,  , которые характеризуются независимыми выборками объемом, соответственно, n ₁и n ₁, для сравнения выборочных средних ₁и ₂ выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий: H ₀: М ₁ = M ₂.  Альтернативную можем сформулировать как H ₁: М ₁ ¹ M.

Используем t-критерий. t = - двухвыборочный t-критерий с неравными дисперсиями. Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства: | t | £ t _{a , m}, где m = n ₁+ n ₂ – 1.