Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Надежность оценок уравнения регрессии можно охарактеризовать их доверительными интервалами  в которых с заданной вероятностью находится истинное значение этого параметра.

При условии, что    … = , получим для простейшего уравнения регрессии y = b ₀   + b ₁ x:

 =  , =  .

Проверка значимости коэффициентов выполняется по критерию Стьюдента. При этом в качестве нуль-гипотезы проверяется: i -ый коэффициент уравнения регрессии отличен от нуля.

Построим доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии

= , где число степеней свободы в критерии Стьюдента определяется по соотношению n - l. Потеря   l = k + 1 степеней свободы обусловлена тем, что все коэффициенты рассчитываются зависимо друг от друга.

Тогда доверительный интервал для каждого из коэффициентов уравнения регрессии составит (  – ;  + ).

Если | | > | | то  коэффициент значим, в противном случае – нет.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а остальные коэффициенты пересчитываются заново, так как они зависимы и в формулы для их расчета входят разноименные переменны.

Задача сводится к определению критерия, позволяющего установить, принадлежать ли эти выборки одной генеральной совокупности?

; анализ, синтез, индукция синтез,

4. Основы математического планирования эксперимента

4.1. Историческая справка

Основные этапы становления планирования эксперимента:

- метод наименьших квадратов – (А.Лежандр, К.Гаусс, конец 18- начало 19 века);

- основы регрессионного и корреляционного анализа (Ф.Гальтон, К.Пирсон, конец 19 - начало 20 века);

- концепция малых выборок (Госсет, более известный под псевдонимом «Стьюдент», начало 20 века);

- основы математического планирования эксперимента (Р.Фишер, середина 20 века);

- разработка последовательной стратегии экспериментирования, шаговая стратегия экспериментирования (Бокс и Уилсон)

Зачем оптимально планировать эксперимент, если нет уверенности в том, выполняются ли предпосылки принятой модели ситуации? В конце 70-х годах 20 века центр тяжести переместился на проблему принятия решения при выборе модели ситуации и обработке данных. Так возникло новое направление, известное под названием анализа данных:

- проверка выполнимости предпосылок модели ситуации;

- использование априорной информации (байесовские методы);

- применение устойчивых (робастных) процедур в случае нарушения тех или иных предпосылок или невозможности их проверки.

… экспериментатор должен наилучшим образом выбрать модель ситуации, план эксперимента и метод обработки.

4.2. Основные понятия и определения

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации дополучения работоспособной математической модели илиопределения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 – гиперкуб.

Для каждого из факторов указывают граничные значения

 £ , где i = 1,….. n.

Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии

Y = F (, … ; , … ) + e, где В₁, …, В_m – некоторые коэффициенты; е – погрешность.

… используют:

• планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

• планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

• планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

• планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

• планирование при изучении динамических процессов и т.д.

В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и др.