Выражение (2.5) можно записать в виде

 

                                                                                      (2.6)

Векторная величина, равная произведению силы и времени ее действия называется импульсом силы ( ). Импульс силы равен изменению импульса тела – второй закон Ньютона в импульсном виде.

III закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой соединяющей центры этих тел:

 

 .                                          (2.7)

 

Сила возникает как при непосредственном контакте (давление прижатых друг другу тел, трения), так и через посредство создаваемых телами полей (поле тяготения, электромагнитное поле).

Сила трения – сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхностям:

 

                                          (2.8)

 

где m – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей; N – сила нормального давления.

Сила, вызванная деформацией тел и препятствующая изменению объёма или формы тела, называется силой упругости.

При небольших деформациях растяжения или сжатие x сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону, противоположную ей (закон Гука):

 

                                        (2.9)

 

где k – коэффициент упругости, зависит от свойств материала и геометрии деформируемого тела.

Закон Гука может быть записан в виде

 

                                         (2.10)

 

где e =  – относительная деформация;  – длина тела до деформации (начальная длина);  – длина тела после деформации;
s =  – напряжение, возникающее в твердом теле, S – площадь сечения, на которую действует сила F; E – модуль Юнга.

Все тела притягиваются друг к другу. Для материальной точки (или шаров) закон всемирного тяготения имеет вид:

                                    (2.11)

 

где  и  – массы тел, r – расстояние между материальными точками или центрами шаров;  – гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения для тела находящегося у поверхности Земли

Если тело массой m находится над поверхностью Земли на высоте h, то на него действует сила тяготения

 

                                     (2.12)

 

где М – масса Земли, R = 6,37^.10⁶ м – радиус Земли.

Вес () – это сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Эта сила равна  лишь в том случае если тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли.

В случае их движения с некоторым ускорением  вес  не будет равен . Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состояниемневесомости.

Законы механики Ньютона справедливы и для вращательного движения. Но поскольку вращательное движение тела относительно оси может вызвать не любая сила, а только та, которая не проходит через ось вращения или не параллельна ей, то вводится понятие момента силы.

Моментом силы () относительно оси называется векторное произведение радиуса вектора , проведенного из точки 0 в точку приложения силы , и силы .

.

Момент силы  всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат  и . Направление вектора  определяется по правилу векторного произведения или по правилу правой руки: 4 согнутых пальца указывают направление, в котором сила  вращает тело, а большой отогнутый направление – момента силы .

Модуль момента силы (из геометрии) численно равен площади параллелограмма построенного на векторах  и .

Тогда модуль момента силы , где  – плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию действия силы . . .

Если на вращающееся тело действует несколько сил, то результирующий, или главный момент всех внешних сил равен векторной сумме моментов сил, действующих на тело:     Основным уравнением динамики вращательного движения является второй закон Ньютона.

Угловое ускорение, полученное вращающимся телом, прямо пропорционально суммарному (главному) моменту сил, действующих на это тело относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси вращения:

 

 

где J – момент инерции тела относительно оси вращения; e – угловое ускорение.

Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело:

 

,

 

где m_i – масса материальной точки; r_i – радиус вращения материальной точки.

Момент инерции тела характеризует инертность тела к изменению им угловой скорости под действием вращающего момента; момент инерции зависит от массы тела и её распределения относительно данной оси вращения.

Моменты инерции некоторых однородных тел вращения относительно заданных осей вращения приведены в табл. 2.1.

 

 

Т а б л и ц а 2.1

 

Тело	Положение оси вращения	J
Полый цилиндр (обруч)	Ось симметрии	J = mR2
Сплошной однородный цилиндр (диск)	Ось симметрии	J =
Сплошной однородный шар	Ось проходит через центр	J =
Сферическая оболочка	Ось проходит через центр	J =
Однородный тонкий стержень	Ось проходит через центр тяжести	J =
Однородный тонкий стержень	Ось проходит через конец	J =

 

Момент инерции J тела относительно любой оси вращения и момент инерции J ₀ тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр инерции тела, связаны соотношением (теорема Штейнера)

 

J = J ₀ + m d ²,

 

где m – масса тела; d – расстояние между осями.

Поскольку угловое ускорение  то

 

 

Произведение  называется моментом импульса тела.

Тогда

Отсюда следует вторая формулировка основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на тело.

 

 

Примеры решения задач

Задача 1. Груз массой т = 100 кг равномерно перемещают по горизонтальной поверхности, прилагая силу  под углом a = 30⁰ к горизонту. Коэффициент трения равен 0,3. Найти величину этой силы.

 

Дано:                                     Решение

a = 30⁰              Покажем все силы, действующие на тело на чертеже 

т = 100 кг (рис. 2.5),

m = 0,3

g = 9,8 м/с²

F -?

 

Так как тело движется равномерно, то по первому закону Ньютона, записанному в векторном виде, имеем

 

.

 

Чтобы решить задачу, надо записать это уравнение в скалярной форме. Для этого введем координатные оси ox и oy. На эти оси спроецируем силы, действующие на тело:

 

ox: ;                                   (1)

oy: .                                (2)

 

По определению, сила трения

 

.

 

Из уравнения (2) находим, что , поэтому

 

.

 

Подставляя последнее выражение в уравнение (1), получим

 

;

;

 

= 289 Н.

 

Ответ: F = 289 Н.

 

Задача 2. Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти натяжение нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1, угол наклона плоскости к горизонту 36⁰. Массами нити и блока, а также трением в блоке можно пренебречь.

Дано:                                                               

m ₁ = 5 кг                      

m ₂ = 2 кг                                

m = 0,1                                                                      

a = 36⁰

g = 9,8 м/с²                                                                                          

а -? T -?                                                                        

                                                                                           

 

 

                                                                                                               

 

Решение

 

Сделаем рисунок и покажем все силы, действующие на тела и их ускорение, а также выберем системы координат, связанные с каждым телом в отдельности.        

Запишем уравнение второго закона Ньютона для первого тела в векторной форме:

 

.

 

Проецируя это уравнение на выбранные направление осей x ₁ и y ₁, получим

 

х ₁: ;                               (1)

y ₁: ;                                              (2)

 

;                                (3)

.

 

, подставим в выражение (3):

 

.                           (4)

 

Запишем уравнение второго закона Ньютона для второго тела в векторной форме:

 

.

 

Спроецировав это уравнение на ось y ₂, получим

 

.                                           (5)

 

Решим систему уравнений (4) и (5):

 

;

                        .

 

Сложив почленно, получим

 

а = ;

а = .

 

Cилу натяжения определим из уравнения (5):

 

 

Ответ: a = 1,88 м/с²; T = 23,4 Н.

 

Задача 3. К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок, подвешены два груза массой по 100 г каждый. На один из грузов положен перегрузок массой 10 г. Найти силу, с которой перегрузок давит на груз, силу давления на ось блока, ускорение грузов и силу натяжения нити.

 

Дано:                                                                     

m _{­ 1} = m ₂ = 0,1 кг

m =             

g = 9,8 м/с²                                                                    

F -?, F _д -?, 

a -?, T -?

                                           

                                                                 

 

4

Решение

 

Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова и грузы движутся с одним и тем же ускорением. Покажем силы, действующие на каждый груз и на блок.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме для каждого груза:

 

 

Спроецируем эти уравнения на ось y:

 

;                                       (1)

;                                         (2)

.                                           (3)

 

По третьему закону Ньютона сила давления равна силе реакции опоры N:

F = N;

;                                        (4)

;                                         (5)

.                                            (6)

 

Из четвертого равенства вычтем (5) и прибавим (6):

 

;

;

a = ; a = .

 

Из уравнения (3) N = mg – ma.

Так как N = F, следует, что :

 

.

 

Из уравнения (2)

;

;

.

 

Сила давления на ось блока F _д = 2 T, следовательно,

 

.

 

Ответ:    а = 0,47 м/с²; F = 9,3 ^. 10^-2Н; T = 1,03 Н; F _д = 2,06 Н.

Задача 4. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз m = 10 кг. Определить момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением а = 2,04 .

Дано:                                                                                           

R = 0,5 м

m = 10 кг

а = 2,04  

J –?

                                                            Рис. 2.8

Решение

 

1) Определим все силы, действующие в системе. Изобразим их на рисунке (рис. 2.8). На груз действуют силы: тяжести  - вниз; натяжения нити  - вверх.

На барабан действует сила натяжение нити , приложенная к ободу барабана. Эта сила создаёт вращающий момент, т.к. она приложена в точке касания нити и барабана. Плечо этой силы равно R – радиусу барабана.

На барабан, кроме того, действует сила давления на ось барабана, уравновешенная силой реакции барабана.

2) Составим уравнение движения тел системы в векторном виде:

 

груз:

барабан:

 

3) Выберем систему координат. Ось X направим по направлению ускорения груза.

Определим направление углового ускорения и момента силы. Вращение барабана происходит против часовой стрелки, значит вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости чертежа вверх (т.е. к нам). Пусть ось Y для барабана совпадает с направлением вектора момента силы и .

4) Запишем проекции сил на оси координат, чтобы решить векторное уравнение:

 

                                         (1)

 

Решим полученную систему:

М = Т R – численное значение момента силы, где R – плечо силы Т;

e =  - связь углового и линейного ускорений барабана.

Тогда Т = m (g – a) из уравнения (1); М = m (g – a) R.