Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде

 

 = J ₂ ,                                              (2)

 

где J ₁ – момент инерции всей системы до сближения гирь,

Момент инерции гири рассчитываем как для материальной точки, m – масса гири.

J ₂ – момент инерции всей системы после сближения гирь,

Выразим угловую скорость через частоту вращения по формуле и подставим в уравнение (2): w = 2pn

 

откуда

.

 

Внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы.

Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершённой человеком:

 

А = D W _к = W ₂ – W ₁.

 

Кинетическая энергия начального положения тела

 

 

Кинетическая энергия конечного положения

 

 

После преобразований получим выражение

 

 

После подстановки числовых значений получим:

 

A = 870 Дж.

Ответ:  = 4,2 ; A = 870 Дж.

Задача 5. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой
 = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 0,17 . В центре платформы стоит человек массой   = 60 кг (рис. 3.7). Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы? С какой частотой будет вращаться платформа?

Дано:

R  = 1,5 м

= 180 кг

= 0,17

  = 60 кг

  -?  -?                                        Рис. 3.7

                                                       

Решение

По закону сохранения момента импульса

 

 = J ₂ ,

 

где J ₁ – момент инерции платформы J ₀ и человека J _ч в центреплатформы; J ₂ – момент инерции платформы J ₀ и человека J _ч, стоящего на краю; и  – угловые скорости платформы с человеком в первом и втором положениях.

Момент инерции платформы (диска) ; момент инерции человека рассчитывают как для материальной точки. Поэтому

Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле          w = 2 p n  и  подставляя все в уравнение (1), получим

 

Тогда

 

.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

 

 = R = 2 p R.

 

Подставив числовые значения, получим

 

  = 2 ^. 3,14 ^. 0,1 ^. 1,5 = 0,94  » 1 .

Ответ:  = 0,1 ; = 1 .

Задача 6. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара 1 м. Найти скорость пули, если стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10⁰ (рис. 3.8).

 

Дано:

m ₂ = 1000 m ₁

l = 1 м

α = 10⁰

g = 9,8 м/с²                                                  

u -?                                                    

   

                                                                                         

                                                                                      

                                                                                                              

                                   

Решение

 

Запишем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара в векторной форме

Спроецируем на ось x:

,

откуда

,                       (1)

где  - скорость пули до удара;

 - скорость шара до удара ( = 0);

u - скорость шара и пули после удара.

Скорость u найдем по закону сохранения механической энергии. За нулевой уровень примем положение равновесия шара.

В положении I система обладает максимальной кинетической энергией, в положении II – максимальной потенциальной энергией, таким образом,

;

,

откуда

u ² = 2 gh.                                                   (2)

Из рисунка ; ;  подставим в выражение (2):

;

,

подставим в (1):

;

;

.

Произведем вычисления:

м/с.

Ответ: u ₁ = 546 м/с.

 

Задача 7. Двигатель насоса, развивая мощность 25 кВт, поднимает 100 м³ нефти на высоту 6 м за 8 мин. Найти КПД двигателя.

 

Дано:       СИ                                   Решение

N = 25 кВт 25 ^. 10³ Вт                            %,                       (1)

V = 100 м³                   где А_п – полезная работа по подъему нефти на

h = 6 м                         высоту h, численно равная потенциальной энергии

t = 8 мин    480 с    нефти на высоте h.

r = 800 кг/м³                                            А_п = W_p = mgh.

g = 9,8 м/с²                      Массу нефти найдём, зная её плотность и объем.

h -?                              По определению плотности,

,

откуда m = r V, тогда

.                                             (2)

Затраченная работа (А_з) – это работа, совершаемая за время t двигателем, который развивает мощность N. По определению мощности,

,                                                  (3)

откуда .

Уравнения (2), (3) подставим в уравнение (1):

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: h = 39 %.

 

Задача 8. Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 20 . Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск?

 

Дано:

m = 1 кг

R = 0,3 м      

= 20

w = 0                                                      

А -?              

Решение

 

Работа, которую совершает внешняя сила, равна изменению кинетической энергии вращающегося диска: A = DW_k, DW_k = 0 – W_k1.