Потенциальная энергия упруго деформированного тела

 

где  - коэффициент упругости, определяемый отношением упругой силы  к величине  упругой деформации.

Закон сохранения энергии в механике: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная, т.е.

 

W = W_k + W_n = сonst.

 

Системы, в которых полная механическая энергия не сохраняется, называются диссипативными.

Мерой передачи движения, или мерой энергии, переданной от одного тела к другому, является работа.

На основании определения работы изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил:

 

A = W ₂ – W ₁      Дж,

 

где W ₂ и W ₁ – полные энергии тел соответственно после и до взаимодействия.

Полная механическая энергия:

 

W = W_k + W_n,

тогда

A = (W_k + W_n)₂ – (W_k + W_n)₁.

 

Опыт показывает, что во всех процессах взаимодействия количество переданного движения пропорционально произведению силы взаимодействия и величины перемещения точки приложения силы (рис. 3.2):

 

A = F S сos a = F _t S,

где F _t = F сos a – проекция силы на направление перемещения точки приложения силы (касательная составляющая силы); a – угол между направлением силы и направлением перемещения (касательной к траектории движения).

 

 

В случае переменной силы F на пути s

 

Графически работа А (рис. 3.3) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком  осью S и ординатами, соответствующими началу и концу рассматриваемого пути.

В случае вращательного движения относительно неподвижной оси работа постоянного момента силы, действующей на тело,

 

,

где j  – угол поворота тела.

Для переменного момента силы:

 

 

Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности.

Мощность – это физическая величина, измеряемая работой, совершаемой в единицу времени

 

 

Учитывая, что элементарная работа

 

dA = F _t ds,

мощность              

или

N = F сos a,

где

Мощность, также как работа и энергия, - скалярная величина.

Для вращательного движения мощность постоянного момента сил равна

 

 

Сопоставление уравнений динамики вращательного движения с уравнениями поступательного движения приведено в табл. 3.2.

 

Т а б л и ц а 3.2

Поступательное движение	Вращательное движение вокруг неподвижной оси

 

Примеры решения задач

Задача 1. Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость под углом 60⁰ к нормали. Удар абсолютно упругий. Найти импульс силы, полученный мячом при ударе (рис. 3.4).

 

Дано:   СИ                   

т = 100 г 0,1 кг

u = 20 м/с

a = 60⁰

 -?

Решение

Запишем второй закон Ньютона:

 

,

 

где  - изменение импульса мяча.

При абсолютно упругом ударе скорость по модулю не изменяется и угол падения равен углу отражения. Следовательно, численное значение импульса мяча не изменяется, а изменяется только его направление .

Из рис. 3.4 найдем D p, воспользовавшись теоремой косинусов:

 

;

;

,

 

учитывая, что , найдем

;

;

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: .

Задача 2. С судна, движущегося со скоростью 54 км/ч, произведен выстрел из пушки под углом 60⁰ к горизонту в направлении, противоположном движению судна. Снаряд вылетел со скоростью 1 км/с. Насколько изменилась скорость судна, если масса снаряда 50 кг, а масса судна 200 т (рис. 3.5)?

 

   Дано:   СИ                                      Решение

= 54 км/ч 15 м/с                                  ,

a = 60⁰                         где  - скорость судна после выстрела.

= 1 км/с 1000 м/с      Для   определения   воспользуемся  законом

= 200 т 200 ^. 10³ кг сохранения импульса:                

= 50 кг                                          ,

-?                             где  - скорость снаряда до выстрела, она равна скорости судна до выстрела, т.е. :

 

;

.

 

Найдем проекции этих векторов на ось ox:

;

.

 

Изменение скорости судна  равно

 

;

.

 

Произведем вычисления:

 

 м/с.

 

Ответ: D u = 0,13 м/с.

 

Задача 3. Деревянный шарик падает вертикально вниз с высоты 2 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол считать равным 0,5. Найти: а) высоту, на которую поднимается шарик после удара о пол; б) количество тепла, которое выделиться при этом ударе. Масса шарика 100 г.

     

Дано:                                         Решение

= 2 м         Падая с высоты , шарик падает на пол со скоростью , а

  = 0      отскакивает вверх со скоростью _.

k = 0,5                По определению коэффициент восстановления k =  

m = 0,1 кг          По закону сохранения энергии  и

  -?                     откуда  = .  = м.

Q -?                              

 

Количество тепла, выделившегося при ударе шарика о пол, равно разности кинетических энергий тела до удара и после удара:

 

 Дж.

 

Ответ:   = 0,5 м;  = 1,48 Дж.

Задача 4. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние между гирями 1,5 м. Скамья вращается с частотой = 1 . Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведёт человек, если он сблизит руки так, что расстояние между гирями уменьшится до 40 см? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J ₀= 2,5 кг^.м². Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи (рис. 3.6).

 

Дано:

=  = m = 10 кг

₁ = 1,5 м

₂ = 0,4 м

  = 1

J ₀ = 2,5 кг^.м²

 -? А -?

                                                                 Рис. 3.6                                                               

Решение

 

Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. В системе тел скамья – человек – гири взаимодействия этих тел являются внутренними. Все тела системы совершают только вращательное движение вокруг одной и той же оси; они не изменяют момент импульса системы. Внешние силы – сила тяжести, сила нормальной реакции – параллельны оси вращения. (Сила трения в оси не учитывается). Моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. Следовательно, момент импульса системы тел остаётся постоянным. По закону сохранения момента импульса

 

,                                             (1)

 

где  и  – моменты импульса системы до и после сближения гирь.