Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности

 

Ковариация случайных величин  и  определяется через их совместную плотность вероятности  соотношением:

    .                     (57.1)

Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких , , при которых , то есть при ,  или , . И наоборот, при ,  или ,  подынтегральная функция (57.1) отрицательна либо равна нулю. Знак ковариации зависит от того, какие значения, положительные или отрицательные преобладают в подынтегральной функции. Поэтому знак числа  определяется расположением линий равного уровня плотности вероятности . На рис. 57.1 представлен пример линий равного уровня функции , для которой . Штриховкой

Рис. 57.1.

Линии равного уровня плотности вероятности при .указана часть плоскости, на которой , и следовательно неотрицательна подынтегральная функция. Поскольку в заштрихованной области (положительные значения подынтегральной функции) плотность  имеет в среднем большее значение, чем в нештрихованной области (отрицательные значения подынтегральной функции), то ковариация . На рис. 57.2 представлены линии равного уровня плотности  при . Случай  соответствует симметричному расположению линий относительно прямой  (или ). Например, эти линии могут быть эллипсами, у которых большая полуось совпадает по направлению с прямой  (или ). Другой пример – линии являются окружностями с центром в точке .

Рис. 57.2. Линии равного уровня плотности

вероятности при .

Отметим, что если , а линии равного уровня имеют ось симметрии, например, на рис. 57.1 линии – это эллипсы, тогда можно выполнить преобразование (вращение) системы координат , такое, что в новой системе ковариация . Это означает также и преобразование случайных величин ,  с ненулевой ковариацией к новым случайным величинам, для которых ковариация равна нулю.

Коэффициент корреляции

 

58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин  и  называется число

.                           (58.1)

Коэффициент корреляции является ковариацией:  двух безразмерных случайных величин

, ,                     (58.2)

полученных из исходных величин  и  путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние ,  и единичные дисперсии , .

Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию  случайных величин  и :

.               (58.3)

Поскольку , то из (58.3) следует

 .          (58.4)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале  и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами  и , в отличие от ковариации , для которой интервал значений  зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства  как меры статистической связи между случайными величинами.

 

58.2. Пусть  - случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией  и . Ковариация случайных величин  и  определяется формулой (56.5):  . Подставим это соотношение в (58.3), тогда:

                (58.4)

Таким образом, для случайных величин , , связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции  принимает либо максимальное значение , либо минимальное - .

58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины  и  на линейную случайную функцию следующего вида:

                     (58.5)

где  и  - независимые случайные величины. В частном случае  - число и (58.5) – линейная функция, определяющая  через . Для детерминированной линейной связи  - принимает максимальное значение. Если  - случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к . В зависимости от свойств случайной величины  статистическая связь между  и  может быть сильной, , или слабой, . Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами  и  (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.

Пусть , , , . Тогда из (58.5) следует, в силу независимости  и :

.                                         

Выразим дисперсию случайные величины  через параметры случайных величин , :

 .         (58.6)

Теперь по формуле (58.3):

 .                         (58.7)

Если , то из (58.7) следует , что соответствует слабой связи между случайными величинами  и . Если , из (58.7) следует , связь становится сильной и в пределе при  переходит в детерминированную линейную связь.