Коэффициент корреляции и расстояние

 

59.1. Пусть  - множество элементов  Расстоянием (метрикой) между элементами  множества  называется неотрицательная функция , удовлетворяющая следующим трем аксиомам:

, причем .

.

.

Вторая аксиома называется условием симметрии, а третья – неравенством треугольника. Если аксиому 1 ослабить: , тогда  называется псевдометрикой. Для псевдометрики из условия  не обязательно следует .

Пусть  - множество случайных величин. Для каждой пары  элементов этого множества можно также ввести расстояние  вида

.                          (59.1)

Покажем, что функция  является псевдометрикой. Аксиома 1 – очевидна: , причем из условия  следует . Аксиома 2 также очевидна. Рассмотрим аксиому 3. Справедливы следующие преобразования:

(59.2)

Пусть  - корреляция двух случайных величин  и . Известно, что  удовлетворяет неравенству (55.2)

 .                                   (59.3)

Подставим (59.3) в (59.2), тогда

 ,                           (59.4)

что и доказывает третью аксиому.

59.2. Пусть

,                                (59.5)

- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:

  ,   (59.6)

где  - коэффициент корреляции случайных величин  и . Из (59.6) следует равенство

                                          (59.7)

которое можно рассматривать как закон сохранения: величина  - постоянная для любых случайных величин  и . Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции  как величины, дополняющей расстояние  до единицы.

 

Функция распределения вероятностей случайного вектора

 

Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность  случайных величин , которая называется многомерной ( - мерной) случайной величиной  или  -мерным случайным вектором . Полное вероятностное описание  - мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей  (или плотностью вероятности , или характеристической функцией ). Функция  аргументов

                          (60.1)

называется функцией распределения вероятностей случайного вектора . Здесь случайное событие

                                  (60.2)

- представляет пересечение  событий вида . В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения  принято заменять запятой.

Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.

1. Пусть  - независимые случайные величины, тогда события , , - независимы и формула (60.1) принимает вид

    ,                    (60.3)

где  - функция распределения вероятностей случайной величины . Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения  представима произведением одномерных функций .

Для любого

    .                 (60.4)

Доказательство следует из определения (60.1). Событие  является невозможным, поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).

Для любого

. (60.5)

Это равенство также следует из определения. Событие  - достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).

Если  для всех , то

    ,                                  (60.6)

как вероятность достоверного события.

5. Функция распределения  - непрерывна справа по каждому своему аргументу.