Распределение вероятностей функции одной случайной величины

 

65.1. Пусть случайная величина  имеет плотность вероятности  и функция одной переменной , , является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности  случайной величины  определяется соотношением:

 ,                          (65.1)

где  - функция, обратная функции .

Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Поскольку функция  - взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая  или монотонно убывающая . Очевидны соотношения:

 ,                        (65.2)

.                        (65.3)

Пусть ,  - функции распределения вероятностей случайных величин  и . Если , тогда используя (65.2),

.    (65.4)

Продифференцируем по  равенство (65.4), тогда

.                        (65.5)

Аналогично при  справедливо равенство (65.3), поэтому

         (65.6)

Отсюда:

.                                (65.7)

Теперь из соотношений (65.5) и (65.7) следует (65.1).

Существенным условием при выводе формулы (65.1) является свойство взаимной однозначности функции . Примерами таких функций являются: 1). Линейная функция , где ,  - числа, при этом обратная функция имеет вид ; 2). Экспонента - , откуда обратная функция , , и другие. Однако условие взаимной однозначности функции  может нарушаться, например, для функции  обратная функция ,  - двузначная. При этом рассматриваются две функции  и , , которые называются первая и вторая ветви обратного преобразования . Более сложный пример: . Здесь обратная функция – многозначная.

 

65.2. Рассмотрим модификацию формулы (65.1) на случай многозначного обратного преобразования . Для этого на области определения функции  выделим неперекрывающиеся интервалы ,  - целое, на которых , тогда на интервалах вида  выполняется условие . Функция , для , монотонная возрастающая, а для  - монотонная убывающая. Поэтому для каждого из указанных интервалов существует однозначная обратная функция по отношению к функции . Пусть функция  для  имеет обратную функцию вида , , очевидно  - монотонная возрастающая, поскольку обратная ей  - монотонная возрастающая. Аналогично обозначим через  - функцию со значениями , обратную к  на интервале . Очевидно  - монотонная убывающая. Функция  называется -я ветвь обратного преобразования функции . Теперь по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:

                                 (65.8)

где суммирование ведется по всем ветвям обратного преобразования.

На рис. 65.1. представлен простой пример функции , у которой ветви обратного преобразования:  со значениями , и  - со значениями . На интервале  функция  - монотонно возрастающая, а на интервале  функция  - монотонная убывающая. Равенство (65.8) в этом случае принимает вид:

.

 

Рис. 65.1. Пример преобразования случайной величины.

 

Представим вероятности в (65.8) через плотности вероятностей, тогда:

 .            (65.9)

Дифференцируя по  обе части (65.9), получим

                               (65.10)

или

 ,               (65.11)

где суммирование по  ведется по всем ветвям обратного преобразования.

 

65.3. Рассмотрим примеры вычисления плотности вероятности случайной величины  по формуле (65.11). Пусть  - линейное преобразование случайной величины . Функция  - взаимно однозначная, поэтому обратное преобразование имеет одну ветвь и сумма в (65.11) содержит одно слагаемое. Поскольку , то (65.11) принимает вид:

 .                           (65.12)

Рассмотрим квадратичное преобразование . Обратное преобразование имеет две ветви  и . Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя,  для , получаем:

              (65.13)

Пусть  и случайная величина  имеет равномерное распределение вероятностей на интервале , с плотностью , если , и  при . Обратное преобразование имеет две ветви: , а также   . Вычисление производных  и подстановка в (65.11) приводит к результату:

.                               (65.14)

На рис. 65.2. представлен график плотности  косинус-преобразования

равномерно распределенной случайной величины. Таким образом, исходная

 

Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.

 

исходная величина  и преобразованная величина  могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.

 

Преобразование нескольких случайных величин

 

66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности  преобразованной величины  через плотность  исходной случайной величины , можно обобщить на случай преобразования  случайных величин. Пусть случайные величины  имеют совместную плотность , и заданы  функций ,  переменных . Необходимо найти совместную плотность вероятности  случайных величин:

                        (66.1)

Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием  - число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений , , относительно переменных . При этом каждое  зависит от . Совокупность таких функций , , образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть , , - - я ветвь обратного преобразования , тогда справедливо соотношение:

 ,                      (66.2)

где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,

                          (66.3)

- якобиан преобразования от случайных величин  к случайным величинам .

Если из каждой совокупности  случайных величин получается  случайных величин , то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему  до  случайных величин, например, такими величинами . Если же , то  случайных величин из совокупности  функционально связаны с остальными  величинами, поэтому - мерная плотность  будет содержать  дельта-функций.

Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности  совокупности случайных величин , полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин  с совместной плотностью вероятности . Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении -мерного интеграла по сложной области . Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.

 

66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин  и  с плотностью  по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: , а в качестве второй  (хотя можно взять и ). Таким образом, функциональное преобразование от ,  к ,  задается системой уравнений:

                    (66.4)

Обратное преобразование – это решение системы уравнений относительно , :

          (66.5)

Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:

 .                                           

Теперь (66.2) для  принимает вид:

 .              (66.6)

Функция  - это совместная плотность вероятности случайных величин  и . Отсюда плотность вероятности  суммы  находится из условия согласованности:

.            (66.7)

Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:

.                  66.8)

Задача сводится к преобразованию интеграла по области , определяемой условием . Этот интеграл можно представить в виде:

(66.9)

Отсюда плотность вероятности:

Отсюда плотность вероятности:

 ,                (66.10)

что совпадает с формулой (66.7).