Интегралы (до несобственного)

Приходовский М.А.

Математика

Учебное пособие

Интегралы (до несобственного)

(осень 2019 - весна 2020, гр. 589-3, 129, 1В9).

 

ЛЕКЦИЯ 20. 3.12.2019  

ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Определения и основные методы.

Определение. Если , то  называется первообразной от функции .

Свойство 1. Если  первообразная, то  (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .

Это легко доказать, действительно,  =  = .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.

Свойство 2. Если  и  две различные первообразные функции , то .

Доказывается так: , т.е. .

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции  называется неопределённым интегралом этой функции.   Обозначение: .

Свойства линейности. 1. 2.

 

Замечание.

Для произведения аналогичное свойство  не верно. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например , .

Тогда , в то же время:  

 = .

Таблица основных интегралов.

()

 

 

;  

Объяснение причины возникновения модуля в . Функция  существует только на правой полуоси, тогда как  имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция  является чётным продолжением  на левую полуось, и именно она там является первообразной для  при .

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной  функции. Например,

Пример.  =  = .

Когда сформировали выражение , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или забыть коэффициент.

Аналогично, допустим, что мы помним, что . Тогда можно постараться сформировать готовое выражение типа  внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:  

Пример.  =  = .

Тригонометрические преобразования:

Пример. Вычислить .

Решение. Применим формулу понижения степени.

 =  =  =

 = .

Пример. Вычислить .  

Решение.  =  =  =

 = .

Ответ. .

 

Замена переменной.

Бывают такие случаи, когда функция имеет вид , то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через  или . Делается замена на , только нужно не забыть пересчитать , потому что , если только замена не является простым линейным сдвигом .

Пример. Вычислить .

Решение. Сделаем замену , тогда , , .

 =  =  = .

Обратная замена:  =  = .

Более того, область определения исходной функции  из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: .

 

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например  и , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .

Если , тогда: , .

Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени :

 = ,

 = .

 

Интегрирование по частям.

Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:

Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.

.

Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен ) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот,  понижено до производной, а  повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.

Доказательство формулы.

Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре:  = .   Тогда = .

Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:

= .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

.

Поэтому = .

Пример. Вычислить  .  

Решение. Если обозначить , , то при переходе к  степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу: 

 = , тогда получаем ответ: .

 

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

Пример. .

Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от  к .

 =  =  = .

 

Интегралы вида  и   называются циклическими интегралами, потому что через 2 цикла вычисления  «по частям» получается исходный интеграл в правой части выражения, т.е. , откуда можно просто выразить  арифметическим путём.

Вычислим интеграл .

  Пусть .

. На первом шаге, обозначаем , .

. = .

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .

Получается  =  = .

Из равенства  можно выразить :

, .

Ответ.  = .

 

ЛЕКЦИЯ 21. 4.12.2019

Выведем формулу вычисления интегралов . Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

 =  =  =

Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .

= , то есть

, откуда выразим  через :

,

вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .

 

 

ЕКЦИЯ 22. 11.12.2019

ЛЕКЦИЯ 23. 17.12.2019

 

ЛЕКЦИЯ 24. 18.12.2019

 

       Основной формулой в теме «определённый интеграл» является формула Ньютона-Лейбница . Она позволяет сразу же вычислить определённый интеграл, если известен неопределённый.

Но на самом деле, связь между этими двумя видами интегралов двусторонняя, т.е. и неопределённый интеграл может быть вычислен с помощью определённого. А именно, если рассматривать функцию  то есть определённый интеграл с переменным верхним пределом.

 

Теорема 1. Функция  является первообразной от функции . 

Доказательство. Нужно доказать, что .

Рассмотрим подробнее производную функции . По определению,

.

В данном случае, это , по свойству 2, интеграл по отрезку  можно представить в виде суммы двух интегралов, а именно, по  и . Чертёж:

При этом интеграл по  там в разности есть ещё и со знаком «минус», то есть он в итоге сокращается.

 = .

По свойству 10, интеграл по отрезку  можно представить как некоторое среднее значение, т.е. в какой-то точке , умноженное на длину отрезка.

В общем случае длина была равна , а для данного отрезка это просто . Тогда:  =  = .

Однако точка , поэтому при , точка , которая находится где-то между  и , стремится к левой границе отрезка: . Поэтому в итоге  = .

 

Теорема 2. (Ньютона-Лейбница). Если  - какая-либо первообразная от , то верна формула: . 

Доказательство. Если  есть произвольная первообразная, то она отличается на какую-то константу  от той первообразной, которую мы рассматривали в теореме 1. То есть , что означает

. Запишем это равенство в точке , получится  но ведь интеграл по одной точке это 0, там нулевая длина основания, а значит и нулевая площадь. Тогда . вот, кстати, мы заодно и установили, как связана константа  с выбором начальной точки .

, а на сколько по высоте отличается от  любая другая первообразная - это и есть значение .

Итак, теперь ясно, что .

А теперь рассмотрим это выражение в точке .

, то есть . Но ведь переменная  вводилась исключительно для того, чтобы отличать  внутри функции и на верхнем пределе интеграла. Теперь, когда перешли к фиксированным границам в интеграле, можно сделать тривиальную замену  и запись примет вид , что и требовалось доказать.

 

Примеры  вычисления по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример. Найти интегралы  и .

Решение.  = .

 = .

Пример. Найти . Решение.  = .

Пример. Найти интеграл .

Решение. . =  =  = .

Пример. Найти интеграл .

Решение.  =  = .

Замечание.   Интеграл , где  нечётная функция, равен 0, так как первообразная - чётная, и её значения при  и  одинаковы, значит, по формуле Ньютона-Лейбница происходит полное вычитание, .

Вид формулы интегрирования по частям для определённого интеграла: .

 

Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, и можно не возвращаться к старой переменной, то есть не делать обратную замену).  

Пример. Вычислить интеграл

Решение.

1) Без замены.  =  = .

2) С помощью замены. При замене  мы адаптируем границы к новой переменной, то есть, если , то  = .

Тогда   =  =  = 3.

Конечно, старые границы могут остаться прежними, например, при такой замене  отобразится в . Но, как правило, при замене верхний и нижний предел интегрирования тоже изменяются.

Замена в определённом интеграле должна задаваться взаимно-однозначной функцией , то есть монотонной функцией. Иначе можно столкнуться с такими парадоксами: например, , интеграл от 0 до . Тогда по переменной  получаем интеграл по промежутку , и он был бы в любом случае равен 0. Чтобы избежать такого противоречия, надо было бы разбить исходный интеграл по переменной  на 2 части, по  и .

 

ЛЕКЦИЯ 25. 25.12.2019

 

Пункт 3. Вычисление длины дуги кривой.

Вывести формулу длины явно заданной кривой: .

Доказательство (вывод формулы). Разобьём область определения на n частей, рассмотрим подробнее одну часть графика.

Длина фрагмента кривой приближённо равна гипотенузе. При этом, тангенс угла наклона равен производной. Поэтому, если горизонтальный катет  то вертикальный равен . Но в этом случае гипотенуза, по теореме Пифагора, равна: 

 =  = .

При переходе к пределу при , получится .

Чем круче наклон фрагмента графика, тем больше величина , и тем больше корень и соответственно, длина части этой кривой. Напротив, если график горизонтальный (функция = константа) то  = . Длина такой кривой просто равна длине отрезка в области определения, то есть .

 

Для параметрически заданной в плоскости формула принимает такой вид: .

В трёхмерном пространстве: .

 

Пример. Вычислить длину участка кривой  при .

Решение.  =  = . 

Тогда  =  =  =  =

 = . Ответ. .

Полярная система координат. Кроме пары чисел , которыми можно задать точку на плоскости, можно задать также и таким образом: соединим точку с началом координат, длину этого отрезка обозначим . Угол между осью  и этим отрезком обозначим .

Так как  это прилежащий катет, а  гипотенуза, тогда , аналогично , откуда следуют такие формулы:

 

Например, для точки (1,1) полярные координаты: .

 

Некоторые кривые в полярных координатах задаются намного проще, чем в декартовых. Например, окружность радиуса : . 

«Спираль Архимеда» :  

 

Впрочем, можно представлять в полярных координатах и прямые:  

Пример. Построить уравнение прямой  в полярных координатах.

Решение. На чертеже видно, что чем больше угол наклона, тем больше расстояние. При  расстояние , при  оно увеличивается до , а затем стремится к .

В уравнении  заменим  по формулам перехода к полярным координатам, т.е. . Получается , тогда .

Ответ. .

 

ПРАКТИКА

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Элементарные преобразования

Задача 268. Вычислить .

Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

 =  =  = . 

Ответ. .

Задача 269. Вычислить .

Решение. Замечая, что , преобразуем так:

 =  =  = .

Ответ. .

Задача 270. Вычислить . 

Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак,  = . Теперь интеграл имеет вид  и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 271. Вычислить .  

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

 =  =  =  =

 =  и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 272. Вычислить .

Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

 =  =  .

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда  =  =  что тоже приводит к .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:   

Ответ. .

Задача 273.  Вычислить .

Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

 =  = .

С помощью замены  сводится к интегралу: 

 = , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

 Ответ. .

Задача 274. Вычислить .

Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим  = .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается  =  = .

Ответ. .

 

Задача 275. Доказать формулу . 

Решение. Известно, что .

В выражении  Вынесем за скобку  в знаменателе.

 = , далее цель - получить  везде, в том числе и под знаком дифференциала, чтобы сделать замену . Домножим и поделим на :

=  =  =

 =  = .

Задача 276. Вычислить .

Решение.  =  =  =  = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить