Рекомендуемые домашние задачи.

Д-1 . Решение.  =  =  =    =  = .

Ответ. .

Д-2 . Решение.  =  =  =  =  = .    

Ответ. .

Д-3 . Ответ. .

Д-4 . Ответ. .

Задача 284. Вычислить .

Решение.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 285. Вычислить .

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .

 =  =  =  

и теперь, после замены , получится .

Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:

 =  =  =

 =  

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

 = .

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

Ответ. .

Задача 286. Вычислить .

Решение.  =  =

=  =  =  =

 =  = .

Ответ. .

Задача 287. Вычислить .

Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на , но, тем не менее, в числителе есть переменная , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1-я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

 =  =  

после замены переменной, это можно переписать так:   

а значит,  и после обратной замены: 

Ответ. .

Задача 288. Вычислить . 

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда  =  =  =  = .

Здесь фактически мы применили замену  для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .

Ответ. .

 

Задача 289. Вычислить .   

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :

 =   

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :

 =  =

= .

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

 =

.

Ответ. .

 

Задача 290.  Вычислить интеграл .

Решение.  =  =

В отличие от прошлой задачи, здесь не надо прибавлять и вычитать, так как полный дифференциал знаменателя это , в знаменателе нет 1-й степени, а его производная поэтому не содержит константу.

Далее,  = , и в итоге:

Ответ. .

 

«Интегрирование по частям»

Вспомнить формулу .

Задача 291. Вычислить .

Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу: 

Тогда  = = .

Ответ. .

Задача 292. Вычислить интеграл .

Решение.

 =  = .

Ответ. .

Задача 293. Вычислить интеграл . 

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .

Тогда  = .

На 2-м шаге, обозначим , .

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

 =  = .

Ответ. .

 

Задача 294. Вычислить интеграл  

Решение. Пусть , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, .

 

Построим таблицу:

Тогда  =  =

 = =

=  . 

Ответ. .

 

Задача 295.  Вычислить интеграл  

Решение. Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы  используем, обозначая её  при интегрировании по частям:

Тогда:  = .

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

 =  =

 =  =

. Знак модуля даже не нужен, т.к. . Ответ. .   

Задача 296. Вычислить интеграл .

Решение. На этом примере увидим, что иногда полезно отступить от того, что мы, как правило, степенную функцию обозначали через u. 

Дело в том, что если так сделать, то при переходе от dv к v возникает интеграл, содержащий первообразную арктангенса   (такую, как в прошлой задаче), что ведёт к сильному усложнению. Напротив, если , то его производная состоит только из степенных, то есть происходит значительное упрощение. Конечно же здесь придётся смириться с тем что  усложняется, растёт его степень, т.е. перейдёт в , но зато арктангенс упрощается очень сильно. Итак, построим таблицу:

 =  =  =

 =  =

= = .

Ответ. .

Домашние задачи.

Д-5. .     Ответ.    

Д-6 .     Ответ. .

Решение задачи Д-6:  Вычислить .

Решение. На первом шаге,

 = . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

 

Продолжим преобразования:    

 =

.

После двух действий, мы видим снова интеграл  в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

. А теперь можно просто выразить это  арифметическим путём.

.