Глава 7. Интегральное исчисление.

Определения и основные методы.

Определение. Если , то  называется первообразной от функции .

Свойство 1. Если  первообразная, то  (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .

Это легко доказать, действительно,  =  = .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.

Свойство 2. Если  и  две различные первообразные функции , то .

Доказывается так: , т.е. .

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции  называется неопределённым интегралом этой функции.   Обозначение: .

Свойства линейности. 1. 2.

 

Замечание.

Для произведения аналогичное свойство  не верно. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например , .

Тогда , в то же время:  

 = .

Таблица основных интегралов.

()

 

 

;  

Объяснение причины возникновения модуля в . Функция  существует только на правой полуоси, тогда как  имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция  является чётным продолжением  на левую полуось, и именно она там является первообразной для  при .

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной  функции. Например,

Пример.  =  = .

Когда сформировали выражение , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или забыть коэффициент.

Аналогично, допустим, что мы помним, что . Тогда можно постараться сформировать готовое выражение типа  внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:  

Пример.  =  = .

Тригонометрические преобразования:

Пример. Вычислить .

Решение. Применим формулу понижения степени.

 =  =  =

 = .

Пример. Вычислить .  

Решение.  =  =  =

 = .

Ответ. .

 

Замена переменной.

Бывают такие случаи, когда функция имеет вид , то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через  или . Делается замена на , только нужно не забыть пересчитать , потому что , если только замена не является простым линейным сдвигом .

Пример. Вычислить .

Решение. Сделаем замену , тогда , , .

 =  =  = .

Обратная замена:  =  = .

Более того, область определения исходной функции  из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: .

 

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например  и , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .

Если , тогда: , .

Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени :

 = ,

 = .