Интегрирование тригонометрических функций.

Задача 312. Вычислить интеграл .  

Решение. Функция не обладает свойствами чётности или нечётности, то есть, сменив знак синуса или косинуса, мы не получим, что знак минус будет у всей дроби. Поэтому применяем универсальную тригонометрическую подстановку: . Напомним, что при этом

, , , . 

Итак, сделаем замену:

=  =  =

 =  = .

Теперь сделаем обратную замену. , что ещё можно привести к виду .

Ответ. . 

Примеры на другие подстановки.

Задача 313. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь нечётная степень синуса, применяем замену . Тогда  =  =  =

 =  =  = .

Ответ. .

Замечание. Универсальная подстановка здесь приводит к огромным вычислениям. Попробуем применить её:

 =  = .

Если раскрыть скобки в числителе, и разбить на сумму множества дробей, то в знаменателе будут степени от 1 до 12, т.е. до , то есть каждое слагаемое надо будет вычислять по рекуррентной формуле, последнее в 12 шагов. Но до того, надо было бы разложить на простейшие дроби, для чего решить систему с 24 неизвестными.

Задача 314. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену .

 =  =  вот и свелось к рациональной дроби, и дальше для t можем действовать в рамках прошлой темы «рациональные дроби».

 =  =  = . Приводим к общему знаменателю:

 = , далее ,

, отсюда следует .

 =  =

это можно после обратной замены и применения свойств логарифмов, записать так: .

Ответ. .

Задача 315. Вычислить интеграл .

Решение.

Допустим, что мы воспользовались бы заменой , заметив, что степень синуса нечётная. Тогда получалось бы:

 =  =  = . Но при разложениии на простейшие дроби

мы сталкивались бы с системой из 9 неизвестных. Поэтому, заметив, что суммарная степень чётная, сделаем замену  (3-й случай, в см. лекциях). Эта замена действительно окажется более рациональна в данном случае.

.  , . 

 =  =  =

 =  =

здесь мы воспользовались формулой .

 = .

После обратной замены получаем ответ:

Ответ. .

Задача 316. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь суммарная степень чётная, то есть, если сменить знак перед sin и cos, то знак сменится 2 раза, и останется «+». Поэтому надо применить замену . Тогда (см. в лекции):

.  , . 

 =  =  =  =  =  = .

После обратной замены получается: .

Ответ. .

Проверка.  =  =  =

 = .

Задача 317. Вычислить интеграл .

Решение. Функция нечётная относительно косинуса, замена .

Тогда , , .

Однако в этом примере квадратные корни не сокращаются, а наоборот, умножаются, ведь косинус теперь не в числителе, а в знаменателе: .

Но всё равно, будет чётная степень корня: .

Итак, , что равно  = .

Теперь мы можем воспользоваться тем разложением, которое получали для такого случая в теме «рациональные дроби» на прошлой практике, где оба корня знаменателя кратные (см. задачу 305).

Курс специально построен так, чтобы использовать некоторые коэффициенты из старых примеров и не искать их здесь повторно.

Разложение было такое: .

После приведения к общему знаменателю и решения системы уравнений, там получалось , , , .

Итак,  =  =

 =  =

 = .

Сделаем обратную замену. .

Ответ. .

 

Задача 318. Вычислить интеграл .      

Решение. Функция нечётна относительно косинуса, значит, замена . Тогда

 =  =  =  =  =  , после обратной замены получаем .

Ответ.

Задача 319. Вычислить интеграл .      

Решение. Аналогично прошлой задаче, , тогда

 =  =  =  =  =  = , после обратной замены .

Ответ.

Задача 320. Вычислить интеграл .  

Решение. Суммарная степень чётна, поэтому применяется замена

, тогда ,  , . 

=  =  =

=  =  =  после обратной замены.

Ответ.

 

А сейчас мы увидим, как данная замена позволяет с лёгкостью доказать одну из формул из таблицы интегралов, а именно,

 = .

Задача 321. Вычислить интеграл .    

Решение. , тогда , . 

 =  =  =  =  = .   Ответ.  . 

 

Взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций. Примеры с интегралами, содержащими , решаемые с помощью тригонометрических функций.

Задача 322. Вычислить интеграл . 

Решение. В интеграле  обозначим , при этом . При этом, правда, второй корень усложняется:

 =  = . 

Необходима 2-я замена, чтобы устранить корень .

У нас здесь . Вводим замену . Тогда .

Итак,  =  = .

Теперь уже просто по формуле понижения степени.

 =  =  =  =

 = .

Обратные замены: сначала обращаем обратно вторую замену, которыу сделали последней: если  то .

Далее, обращаем 1-ю замену: , тогда в итоге:

Ответ. . 

 

Задача 323.  Вычислить интеграл .

Решение. В этом случае нужно замена (см. лекции) .

При этом корень квадратный исчезает таким образом:

 =  =  = .

 =  = .

Итак,  =  =

 = .

Для обратной замены, вспомним, что , то есть , . Тогда  = . Получается, что надо найти котангенс того угла, синус которого равен . Подпишем соответствующие стороны на чертеже прямоугольного треугольника.

Третья сторона вычисляется по теореме Пифагора: .

Котангенс этого угла: .

 =  = .

Ответ. .

Определённый интеграл

Задача 324. Вычислить

Решение.  =  

здесь мы можем заменить  на , но тогда нужно сделать пересчёт верхнего и нижнего пределов. Если  то , т.е. .

 =  =  =  = .

А можно было сначала вычислять интеграл как неопределённый, тогда надо было бы вернуться к исходной переменной  (то есть сделать обратную замену), но пределы можно не пересчитывать.

 =  =  =

 =  = = .

Впрочем, как видно, от способа не зависит, получается один и тот же ответ .

Задача 325.  Вычислить интеграл .

Решение.  =  =   сделаем замену , при которой, если , то . Тогда:

 =  =  = .       Ответ. . 

СЕМЕСТР 2

Определённый интеграл

Задача 1. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование иррациональностей».

Решение. НОК(2,4) = 4, поэтому замена . При такой замене , , . .

 =  =  =  =  =

 = .    Ответ. .

Задача 2. Вычислить интеграл   .

Решение. Сделаем замену        , тогда .

 =  =  =  =

 =  =  =  = .      Ответ. .

Задача 3. Вычислить интеграл .

Решение. При замене , если  то .

 =  =  =  =

 =  = .

Ответ. .

Рассмотрим 2 задачи на примерения интегрирования по частям в определённом интеграле.

Задача 4. Вычислить интеграл   . 

Решение.  Применим метод интегрирования по частям,

Тогда

 =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 5. Вычислить интеграл .

Решение. Тоже решается интегрированием по частям,

, , тогда , .

 =  =  =  = .

Ответ. .

 

Замечание. Из строения графика видно, что ответ и должен был получиться отрицательным: изначально  имеет две одинаковые части площади над и под осью, и его интеграл был бы 0, а если мы умножаем на , то сильнее увеличится по модулю именно та часть, которая дальше от 0, то есть расположенная ниже горизонтальной оси. Вот эти графики, зелёным показан , красным .

Задача 6. Вычислить интеграл . 

Решение.  =  =  

используя известное выражение , получим:

 =  = .

Задача 7. Вычислить интеграл   

Решение. Сделаем замену . Тогда , , , , функция  монотонна, так что замена корректная. Теперь найдём новые границы: если , то . Тогда =  =   =   =  =  .     Ответ. .

 

Задача 8. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «интегрирование тригонометрических функций».

Решение. Суммарная степень чётна, поэтому применяется замена

, тогда ,  , . 

Пересчитаем границы. , .

Итак, подставим всё это в интеграл.

 =  =  =

=  =  =  =  = . Ответ. .

 

 

Задача 9. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «элементарные преобразования, подведение под знак дифференциала».

Решение.  =  =  =

 =  =

 = . Ответ. .

Задача 10. Вычислить интеграл .

При этом осуществляется повторение темы «рациональные дроби».

Решение. Сначала представим дробь в виде суммы простейших.

. При приведении к общему знаменателю, числитель получится такой:

, что равно ,

система:  решим её методом Гаусса.

.

Здесь от 2-й строки отняли удвоенную 1-ю и от 3-й 1-ю, а затем от 3-й строки 2-ю. Основная матрица системы стала треугольной, и С находится сразу же: . Тогда  и тогда . Из 1-го уравнения тогда уже получается .

Значит, исходный интеграл распадается на сумму 3 интегралов:  =  =

 =  = .

Ответ. .

Задача 10* на повторение, либо домашняя.

   =  =  =  = .